如图，在矩形ABCD中，∠CAB=30°，P是直线AC上一动点，连结BP并延长至点E，使BP=PE，过点E作EF⊥AB于点F，交直线AC于点G，过点B作BH∥AC交直线EF于点H，以AP为直径的⊙O交直线AB于点Q．分析 （1）如图1中，设⊙O交AF于M，连接PM．只要证明EF=2PM，AP=2PM，即可解决问题；
（2）如图2中，作BN⊥AC于N，设PC=PG=a，则AC=3a，BC=$\frac{3a}{2}$，BN=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$a，利用面积公式求出a即可解决问题；
（3）①分两种情形如图3中，当四边形CGHB是菱形时．如图4中，当四边形BCGH是菱形时．分别求解即可；
②分三种情形讨论：⊙O与PB相切，⊙O与BH相切，⊙O与PH相切，分别求解即可；
解答 （1）证明：如图1中，设⊙O交AF于M，连接PM．
∵AP是直径，
∴∠AMP=90°，
∵EF⊥AB，
∴∠AMP=∠AFE=90°，
∴PM∥EF，
∵BP=PE，
∴BM=MF，
∴EF=2PM，
在Rt△APM中，∵∠PAM=30°，
∴AP=2PM，
∴AP=EF．
（2）解：如图2中，作BN⊥AC于N，设PC=PG=a，则AC=3a，BC=$\frac{3a}{2}$，BN=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$a，
由题意2a•$\frac{3\sqrt{3}}{4}$a=24$\sqrt{3}$，
解得a=4，
∴AP=4a=16，
∴OA=8，
∴⊙O的半径为8．
（3）①如图3中，当四边形CGHB是菱形时，
∵∠GCB=60°，
∴△CGB是等边三角形，
∵EG=BC，EG∥CB，
∴四边形BCEG是平行四边形，∵BG=BC，
∴四边形BCEG是菱形，
∴BE⊥AC，
∴AP=AB•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．
如图4中，当四边形BCGH是菱形时，
易知BC=CG=2$\sqrt{3}$，AC=4$\sqrt{3}$，PC=PG=$\sqrt{3}$，
∴AP=5$\sqrt{3}$，
综上所述，满足条件的AP的值为3$\sqrt{3}$或5$\sqrt{3}$．
②如图5中，当⊙O与PB相切时．
易知：BE⊥AP，由①可知，AF=BF=3，FH=BF•tan30°=$\sqrt{3}$．
如图6中，当⊙O与BH相切时．易知AP=6，PC=PG=AC-AP=4$\sqrt{3}$-6，
∴AG=AP-PG=12-4$\sqrt{3}$，
∴AF=AG•cos30°=6$\sqrt{3}$-6，BF=AB-AF=12-6$\sqrt{3}$，
∴FH=BF•tan30°=4$\sqrt{3}$-6．
如图7中，当⊙O与PH相切时，由①可知，BH=BC=CG=GH=2$\sqrt{3}$，
∴FH=$\frac{1}{2}$BH=$\sqrt{3}$，
综上所述，当⊙O与△BHP某一边所在的直线相切时，FH的长为$\sqrt{3}$或4$\sqrt{3}$-6．
点评 本题考查圆综合题、切线的判定和性质、矩形的性质、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案科目：初中数学 来源： 题型：选择题
| A． | 0 | B． | 1 | C． | 2 | D． | 3 |
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：填空题
如图，已知菱形ABCD的对角线BD在x轴上，A点在y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，C点的坐标为（2，-1），则k=2．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，对角线AC=6，BD=8，点E在BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E．查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com
如图，在?ABCD中，M、N分别是AB、CD上的点，AM=CN，E、F是AC上的点，AE=CF，求证：四边形MENF是平行四边形．
已知：如图，四边形DEBF是平行四边形，且AE=CF．