Question

28、已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，且点O₂在⊙O₁上．
（1）如图1，AD是⊙O₂的直径，连接DB并延长交⊙O₁于C，求证：CO₂⊥AD；
（2）如图2，如果AD是⊙O₂的一条弦，连接DB并延长交⊙O于C，那么CO₂所在直线是否与AD垂直？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）连接AB．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ABD=90°；根据等弧所对的圆周角相等，得∠A=∠C，再进一步根据两角对应相等，得△ABD∽△CO₂D，从而证明结论；
（2）连接AO₂并延长交圆与E，连接DE、AB．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADE=90°；根据等弧所对的圆周角相等，得∠C=∠1=∠2，从而证明∠ADC+∠C=90°，证明结论．

解答：（1）证明：连接AB．
∵AD是⊙O₂的直径，
∴∠ABD=90°．
∵∠D=∠D，∠A=∠C，
∴△ABD∽△CO₂D，
∴∠ABD=∠CO₂D=90°．
即CO₂⊥AD．

（2）解：CO₂⊥AD．理由如下：
连接AO₂并延长交圆与E，连接DE、AB．
∵AE是圆的直径，
∴∠ADE=90°．
又∠C=∠1=∠2，
∴∠ADC+∠C=90°．
则CO₂⊥AD．

点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、相似三角形的判定和性质．连接公共弦和构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线．