【题目】已知AB是⊙O的直径,点C是弧AB的中点,点D在弧BC上,BD、AC的延长线交于点K,连接CD.
(1)求证:∠AKB﹣∠BCD=45°;
(2)如图2,若DC=DB时,求证:BC=2CK;
(3)在(2)的条件下,连接BC交AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F,延长CF交AB于点G,连接GE,若GE=5,求CD的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)CD=6.
【解析】
(1)连接AD,先证△ABC是等腰直角三角形得∠CAB=∠CBA=45°,设∠CBK=∠DAC=α,则∠DAB=∠DCB=45°α,∠K=90°α,据此可得;
(2)过点C作CH⊥AD,先证△EBD≌△EHC可得CE=BE=BC,再证△ACE≌△BCK得CK=CE,从而得证;
(3)证CG∥BD知∠GCB=∠CBD=∠CAD,由CE=BE=BC=AC知tan∠GCB=tan∠CAD=,据此设GH=BH=a,则CH=2a、BC=3a、BE=a、EH=a,在Rt△EGH中利用勾股定理可得a的值,即可知CE=3,再根据tan∠GCB=,可设EF=x、CF=2x,在Rt△CEF中利用勾股定理求得x的值即可得出答案.
(1)如图1,连接AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°,
∵点C是的中点,
∴AC=BC,
则△ABC是等腰直角三角形,
∴∠CAB=∠CBA=45°,
设∠CBK=∠DAC=α,
则∠DAB=∠DCB=45°﹣α,∠K=90°﹣α,
∴∠AKB﹣∠BCD=45°;
(2)如图1,过点C作CH⊥AD,
∵∠CDH=∠CBA=45°,
∴CD=CH,
∵CD=DB,
∴CH=DB,
∵∠CEH=∠BED、∠CHE=∠BDE=90°,
∴△EBD≌△EHC(AAS),
∴CE=BE=BC,
∵∠CAE=∠CBK、∠ACE=∠BCK、AC=BC,
∴△ACE≌△BCK(ASA),
∴CK=CE=BE=BC,
即BC=2CK;
(3)如图2,过点G作GH⊥BC于点H,则∠GHC=90°,
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∵CG⊥AD于点F,
∴∠CFE=∠ADB=90°,
∴CG∥BD,
∴∠GCB=∠CBD=∠CAD,
∵∠ACE=90°,CE=BE=BC=AC,
∴tan∠GCB=tan∠CAD=,
∴,
∵∠ABC=45°,∠GHB=90°,
∴GH=BH,
设GH=BH=a,则CH=2a、BC=3a,
∴BE=a,EH=a,
在Rt△EGH中,( a)2+a2=52,
解得:a=2(负值舍去),
∴CE=3,
∵tan∠GCB= ,
∴,
设EF=x、CF=2x,
∴x2+(2x)2=(3)2,
解得:x=3(负值舍去),
∴CF=6,
∵∠CDA=∠CBA=45°,
∴CD=6.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=交x轴于点A、B(点A在点B的左侧),交y轴于点C.
(1)如图,点D是抛物线在第二象限内的一点,且满足|xD﹣xA|=2,过点D作AC的平行线,分别与x轴、射线CB交于点F、E,点P为直线AC下方抛物线上的一动点,连接PD交线段AC于点Q,当四边形PQEF的面积最大时,在y轴上找一点M,x轴上找一点N,使得PM+MN﹣NB取得最小值,求这个最小值;
(2)如图2,将△BOC沿着直线AC平移得到△B′O′C′,再将△B'O′C′沿B′C′翻折得到△B′O″C′,连接BC′、O″B,则△C′BO″能否构成等腰三角形?若能,请直接写出所有符合条件的点O″的坐标,若不能,请说明理由.
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【题目】如图1,等腰直角中,,过点,的圆交于点,交于点,连结.
(1)若,,分别求,的长
(2)如图2,连结,若,的面积为10,求.
(3)如图3,在圆上取点使得(点与点不重合),连结,且点是的内心
①请你画出,说明画图过程并求的度数.
②设,,,若,求的内切圆半径长.
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【题目】已知:如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=x+b的图象交
于点A(1,4)、点B(-4,n).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△OAB的面积;
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.
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【题目】已知:如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=x+b的图象交
于点A(1,4)、点B(-4,n).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△OAB的面积;
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y1=ax+b(a,b为常数,且a≠0)与反比例函数y2=(m为常数,且m≠0)的图象交于点A(﹣4,2),B(2,n).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)连接OA,OB,求△AOB的面积.
(3)直接写出当0<y1<y2时,自变量x的取值范围.
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【题目】如图,反比例函数y=(k>0)的图象与一次函数y=x的图象交于A、B两点(点A在第一象限).若点A的横坐标为4.
(1)求k的值.
(2)根据图象,直接写出当>x时,x的取值范围.
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【题目】如图1,抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(﹣1,0)和点B(3,0).
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)如图2,该抛物线与y轴交于点C,顶点为F,点D(2,3)在该抛物线上.
①求四边形ACFD的面积;
②点P是线段AB上的动点(点P不与点A、B重合),过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q,连接AQ、DQ,当△AQD是直角三角形时,求出所有满足条件的点Q的坐标.
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【题目】学校为了提高学生跳远科目的成绩,对全校500名九年级学生开展了为期一个月的跳远科目强化训练。王老师为了了解学生的训练情况,强化训练前,随机抽取了该年级部分学生进行跳远测试,经过一个月的强化训练后,再次测得这部分学生的跳远成绩,将两次测得的成绩制作成图所示的统计图和不完整的统计表(满分10分,得分均为整数).
根据以上信息回答下列问题:
(1)训练后学生成绩统计表中,并补充完成下表:
(2)若跳远成绩9分及以上为优秀,估计该校九年级学生训练后比训练前达到优秀的人数增加了多少?
(3)经调查,经过训练后得到9分的五名同学中,有三名男生和两名女生,王老师要从这五名同学中随机抽取两名同学写出训练报告,请用列表或画树状图的方法,求所抽取的两名同学恰好是一男一女的概率.
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