Question

已知四个实数a、b、c、d，且a≠b，c≠d．满足：a²+ac=4，b²+bc=4，c²+ac=8，d²+ad=8．
（1）求a+c的值；
（2）分别求a、b、c、d的值．

Answer 1

分析：（1）将已知第一个与第三个等式左右两边相加，利用完全平方公式变形，开方即可求出a+c的值；
（2）已知前两个等式左右两边相减，后两个等式左右两边相减，因式分解后，根据a与b不相等，c与d不相等，得到a+b+c=0，a+c+d=0，得到b=d=-（a+c），由第一个等式与第三个等式左右两边相减，整理后将a+c的值代入求出a-c的值，联立求出a与c的值，即可确定出b与d的值．

解答：解：（1）由（a²+ac）+（c²+ac）=4+8=12，得（a+c）²=a²+c²+2ac=12，
∴a+c=±2

3

；
（2）由（a²+ac）-（b²+bc）=4-4=0，（c²+ac）-（d²+ad）=8-8=0，
得（a-b）（a+b+c）=0，（c-d）（a+c+d）=0，
∵a≠b，c≠d，
∴a+b+c=0，a+c+d=0，
∴b=d=-（a+c），
又（a²+ac）-（c²+ac）=4-8=-4，得（a-c）（a+c）=-4．
当a+c=2

3

时，a-c=-

2 3

3

，解得：a=

2 3

3

，c=

4 3

3

，b=d=-2

3

；
当a+c=-2

3

时，a-c=

2 3

3

，解得：a=-

2 3

3

，c=-

4 3

3

，b=d=2

3

．

点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．