Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b，c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（-1，0）B（4，5），然后利用待定系数法即可求得b，c的值；
（2）由直线AB经过点A（-1，0），B（4，5），即可求得直线AB的解析式，又由二次函数y=x²-2x-3，设点E（t，t+1），则可得点F的坐标，则可求得EF的最大值，求得点E的坐标；
（3）①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD，可求出点F的坐标（

3

2

，-

15

4

），点D的坐标为（1，-4）由S_{四边形EBFD}=S_△BEF+S_△DEF即可求得；
②过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m²-2m-3），可得m²-2m-3=

5

2

，即可求得点P的坐标，又由过点F作b⊥EF交抛物线于P₃，设P₃（n，n²-2n-3），可得n²-2n-2=-

15

4

，求得点P的坐标，则可得使△EFP是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标．

解答：解：（1）由已知得：A（-1，0），B（4，5），
∵二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（4，5），
∴

1-b+c=0 16+4b+c=5

，
解得：b=-2，c=-3；

（2）如图：∵直线AB经过点A（-1，0），B（4，5），
∴直线AB的解析式为：y=x+1，
∵二次函数y=x²-2x-3，
∴设点E（t，t+1），则F（t，t²-2t-3），
∴EF=（t+1）-（t²-2t-3）=-（t-

3

2

）²+

25

4

，
∴当t=

3

2

时，EF的最大值为

25

4

，
∴点E的坐标为（

3

2

，

5

2

）；

（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．

可求出点F的坐标（

3

2

，-

15

4

），点D的坐标为（1，-4）
S_{四边形EBFD}=S_△BEF+S_△DEF=

1

2

×

25

4

×（4-

3

2

）+

1

2

×

25

4

×（

3

2

-1）=

75

8

；
②如图：

ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m²-2m-3）
则有：m²-2m-3=

5

2

，
解得：m₁=1+

26

2

，m₂=1-

26

2

，
∴P₁（1-

26

2

，

5

2

），P₂（1+

26

2

，

5

2

），

ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P₃，设P₃（n，n²-2n-3）
则有：n²-2n-3=-

15

4

，
解得：n₁=

1

2

，n₂=

3

2

（与点F重合，舍去），
∴P₃（

1

2

，-

15

4

），
综上所述：所有点P的坐标：P₁（1+

26

2

，

5

2

），P₂（1-

26

2

，

5

2

），P₃（

1

2

，-

15

4

）能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．