Question

2．在△ABC中，∠BAC=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点F，交AB于点E，P是AC延长线上一点，连接FP，将FP绕点F逆时针旋转2α，得到FK，如果∠B=α（0°＜α＜90°），则$\frac{CK-CP}{cosα•EF}$=2．

Answer 1

分析 连接AF，由直角三角形的性质得到BF=CF=AF，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAF，于是得到∠AFC=2∠B=2α通过三角形全等得到AP=CK，求得CK-CP=AC，根据三角函数的定义得到cosα•EF=$\frac{BF}{BE}$•EF=$\frac{BF•EF}{BE}$，过F作FD⊥AB于D，推出FD=cosα•EF根据三角形的中位线的性质得到DF=$\frac{1}{2}$AC，即可得到结论．

解答 解：连接AF，
∵EF是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，
∴BF=CF=AF，
∴∠B=∠BAF，
∴∠AFC=2∠B=2α，
∴∠AFP=∠KFC，
∵FP=CK，
在△AFP与△CFK中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=FC}\\{∠AFP=∠CFK}\\{FP=FK}\end{array}\right.$，
∴△AFP≌△CFK，
∴AP=CK，
∴CK-CP=AC，
∵EF⊥BC，
∴cosα•EF=$\frac{BF}{BE}$•EF=$\frac{BF•EF}{BE}$，
过F作FD⊥AB于D，
∴FD=cosα•EF，
∵F是BC的中点，AB⊥AC，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF∥AC，DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{CK-CP}{cosα•EF}$=$\frac{AC}{\frac{1}{2}AC}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．