分析 (1)利用EC为⊙O的切线,ED也为⊙O的切线可求EC=ED,再求得EB=EC,EB=ED可知点E是边BC的中点;
(2)当四边形ODEC为正方形时,∠OCD=45°,由于AC为直径得到∠ADC=90°,于是得到∠A=∠ADC-∠OCD=90°-45°=45°,根据∠ACB=90°,于是得到结论△ABC是等腰直角三角形;
(3)由AC是⊙O是直径,得到CD⊥AB,由于∠ACB=90°,证得△BCD∽△BAC,得到$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$,即BC2=BD•BA,由(1)可知BC=2DE,即可得到结论.
解答 证明:(1)连接OD,
∵DE为切线,
∴∠EDC+∠ODC=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ECD+∠OCD=90°,
又∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠EDC=∠ECD,
∴EC=ED,
∵AC为直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠BDE+∠EDC=90°,∠B+∠ECD=90°.
∴∠B=∠BDE,
∴ED=EB.
∴EB=EC,
即点E是边BC的中点,
(2)当四边形ODEC为正方形时,∠OCD=45°,
∵AC为直径∴∠ADC=90°,
∴∠A=∠ADC-∠OCD=90°-45°=45°,
又∵∠ACB=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形;
(3)∵AC是⊙O是直径,
∴CD⊥AB,
∵∠ACB=90°,
∴△BCD∽△BAC,
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$,即BC2=BD•BA,
由(1)可知BC=2DE,
∴4DE2=BD•BA.
点评 本题考查了圆的切线性质,及解直角三角形的知识.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.
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