Question

6．如图，正方形ABCD中，AB=30，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G．连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=15；③△CFG是正三角形；④△FGC的面积为90．其中正确的是①②④（填所有正确答案的序号）．

Answer 1

分析 ①根据折叠的性质可以得到∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，根据HL定理即可证明两三角形全等；
②不妨设BG=FG=x，（x＞0），则CG=30-x，EG=10+x，在Rt△CEG中，利用勾股定理即可列方程求得；
③利用②得出的结果，结合折叠的性质求得答案即可；
④根据三角形的面积公式可得：S_△FGC=$\frac{3}{5}$S_△EGC，即可求解．

解答 解：①在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠B=∠C=90°，
又∵△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G
∴∠AFG=∠AFE=∠D=90°，AF=AD，
即有∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，
在直角△ABG和直角△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△AFG；正确．
②∵AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，
∴DE=FE=10，CE=20，
不妨设BG=FG=x，（x＞0），
则CG=30-x，EG=10+x，
在Rt△CEG中，（10+x）²=20²+（30-x）²
解得x=15，于是BG=GC=15；正确．
③∵BG=GF=CG，
∴△CFG是等腰三角形，
∵BG=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠AGB≠60°，
则∠FGC≠60°，
∴△CFG不是正三角形．错误．
④∵$\frac{GF}{FE}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{GF}{GE}$=$\frac{3}{5}$，
∴S_△FGC=$\frac{3}{5}$S_△EGC=$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$×20×15=90．正确．
正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了正方形的性质，以及图形的折叠的性质，三角形全等的证明，理解折叠的性质是关键．