Question

如图，正方形ABCO放在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，A、C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为（-4，4）．已知点E、点F分别从A、点B同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度在线段AB上来回运动．点F沿B→C→0方向，以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点F到达点O时，E、F两点都停止运动．在E、F的运动过程中，存在某个时刻，使得△OEF的面积为6．那么点E的坐标为

 

．

Answer 1

分析：由于点E、F同时运动，根据它们位置的不同，可分成三种情况进行讨论：0＜t≤2，2＜t≤4，4＜t＜8．

解答：解：设时间为t秒
①当0＜t≤2时，AE=2t，BE=4-2t，BF=t，FC=4-t，CD=4，
s_△OEF=s_{正方形OABC}-S_△AEO-S_△BEF-S_△OCF=16-4t-2（4-t）-t（2-t）=t²-4t+8，
∵s_△OEF=6，即t²-4t+8=6，解得t=2+

2

或t=2-

2

，又∵0＜t≤2，∴t=2-

2

．
此时，点E的坐标为（-4，4-2

2

）；
②当2＜t≤4时，AE=8-2t，BE=2t-4，BF=t，FC=4-t，CD=4，
s_△OEF=s_{正方形OABC}-S_△AEO-S_△BEF-S_△OCF=16-4（4-t）-2（4-t）-t（t-2）=-t²+8t-8，
∵s_△OEF=6，即-t²+8t-8=6，解得t=4+

2

或t=4-

2

，又∵2＜t≤4，∴t=4-

2

．
此时，点E的坐标为（-4，2

2

）；
③当4＜t＜8时，AE=2t-8，FC=t-4，OF=8-t，
s_△OEF=

1

2

×4×(8-t)=16-2t，
∵s_△OEF=6，即16-2t=6，解得t=5，此时，点E的坐标为（-4，2）；
故点E的坐标为（-4，4-2

2

），（-4，2

2

），（-4，2）．

点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，会用运动时间表示边长，面积，搞清楚正方形中的三角形的三边关系等，可有助于提高解题速度和准确率．