Question

在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），已知点E（0，1）．

（1）求m的值及点A的坐标；

（2）如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连结A′B、BE′．

①当点E′落在该二次函数的图象上时，求AA′的长；

②设AA′=n，其中0＜n＜2，试用含n的式子表示A′B²+BE′²，并求出使A′B²+BE′²取得最小值时点E′的坐标；

③当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标．

 

Answer 1

解：（1）由题意可知 ，．

∴ 二次函数的解析式为．

         ∴ 点A的坐标为（- 2, 0）

（2）①∵ 点E（0,1），由题意可知，

．

解得 ．

∴ AA′=．          

②如图，连接EE′．

由题设知AA′=n（0＜n＜2），则A′O = 2 - n．

在Rt△A′BO中，由A′B² = A′O² + BO²，

得A′B² =(2–n)² + 4² = n² - 4n + 20．

∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，

∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．

∴∠BEE′=90°，EE′=n．

又BE=OB - OE=3.

∴在Rt△BE′E中，BE′² = E′E² + BE² = n² + 9，

∴A′B² + BE′² = 2n² - 4n + 29 = 2(n–1)² + 27．

当n = 1时，A′B² + BE′²可以取得最小值，此时点E′的坐标是（1，1）．

                                   

③如图，过点A作AB′⊥x轴，并使AB′ = BE = 3．

易证△AB′A′≌△EBE′，

∴B′A′ = BE′，

∴A′B + BE′ = A′B + B′A′．

当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B + B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．

易证△AB′A′∽△OBA′，

∴，

∴AA′=，

∴EE′=AA′=，

∴点E′的坐标是（，1）．