Question

如图，半圆O的直径AB=4，⊙O₁与半圆O内切且与AB切于点C，设⊙O₁的半径为y，AC=x，
（1）请求出y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围；
（2）求出函数的最大值，并在所给平面直角坐标中画出函数的大致图象．

Answer 1

解：（1）连接OO₁，连接O₁C，
∵圆O₁与半圆O内切，半圆O的半径为2，圆O₁的半径为y，
∴OO₁=2-y，
又半圆O与AB切于点C，
∴O₁C⊥OA，O₁C=y，
又AC=x，则OC=OA-AC=2-x，
在直角三角形O₁OC中，根据勾股定理得：OO₁²=O₁C²+OC²，
即（2-y）²=y²+（2-x）²，
则y=-x²+x（0＜x＜4）；
（2）二次函数y=-x²+x，
当x=-=-=2时，y_max=-×2²+2=1，
令y=0，得到-x²+x=0，解得：x=0或x=4，
∴抛物线与x轴交于（0，0）及（4，0），对称轴为直线x=2，
作出二次函数的图象，如图所示．
分析：（1）连接OO₁，连接O₁C，由圆O₁与半圆O内切，根据两圆内切的性质得到圆心距等于两半径相减，表示出OO₁，再由圆O₁与AB相切，根据切线的性质得到O₁C垂直于AB，且O₁C为圆O₁的半径y，再由OA-AC表示出OC的长，在直角三角形OO₁C中，根据勾股定理列出关系式，化简后即可得到y与x的函数解析式，根据AC小于直径AB得出x的范围；
（2）根据二次函数求最值的方法，由a小于0，得到二次函数有最大值，故当x等于顶点横坐标时，y的最大值为顶点的纵坐标，并令y=0得出关于x的方程，求出方程的解得到抛物线与x轴的交点坐标，再求出抛物线的对称轴，在平面直角坐标系中画出抛物线的图象即可．
点评：此题考查了相切两圆的性质，切线的性质，以及二次函数的图象与性质，两圆相切有两种情况：两圆内切时，其圆心距等于两半径相减；两圆外切时，圆心距等于两半径相加，直线与圆相切时，切线垂直于过切点的半径，熟练掌握这些性质是解本题的关键．