Question

8．已知：四边形ABCD的面积为8068，边BA与CD的延长线交于E点，点F、G分别是四边形对角线的中点．求△EFG的面积．

Answer 1

分析 利用三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形，以及面积的和与差得出S_△EFG=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，再代入四边形ABCD的面积即可得出结果．

解答 解：连接DG，BG，如图所示：
∵点G是AC中点，
∴S_△AGD=S_△CGD=$\frac{1}{2}$S_△ACD，S_△AGB=S_△BGC=$\frac{1}{2}$S_△ACB，
∵点F、G分别是BD、AC中点，
∴AG=GC，DF=FB，S_△EGA=$\frac{1}{2}$S_△EAC，S_△FGB=$\frac{1}{2}$S_△BDG，
S_△BEF=$\frac{1}{2}$S_△BED，
∴S_△EFG=（S_△EGA+S_△AGB）-S_△FGB-S_△BEF，
S_△EFG=（$\frac{1}{2}$S_△EAC+$\frac{1}{2}$S_△ACB）-$\frac{1}{2}$S_△BDG-$\frac{1}{2}$S_△BED，
∴2S_△EFG=S_△EBC-S_△BDG-S_△BED=S_△BGC+S_△CGD，
即2S_△GFE=$\frac{1}{2}$S_△ACD+$\frac{1}{2}$S_△ACB=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，
∴S_△GFE=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{4}$×8068=2017．

点评 本题主要考查了面积及等积变换、三角形的中线的性质、中点的意义、面积的和差等知识；熟练掌握三角形的一条中线分成的两个三角形的面积相等是解决问题的关键．