Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．
（1）求AD的长；
（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S₁、S₂，若S=S₁+S₂，求S的最小值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：压轴题

分析：（1）过点C作CE⊥AB于E，根据CE=BC•sin∠B求出CE，再根据AD=CE即可求出AD；
（2）若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，则△PCB必有一个角是直角．分两种情况讨论：①当∠PCB=90°时，求出AP，再根据在Rt△ADP中∠DPA=60°，得出∠DPA=∠B，从而得到△ADP∽△CPB，②当∠CPB=90°时，求出AP=3，根据

AD

PC

≠

AP

PB

且

AD

PB

≠

AP

PC

，得出△PCB与△ADP不相似．
（3）先求出S₁=π•

12+x2

4

，再分两种情况讨论：①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM，在Rt△GBH中求出BG、BN、GN，在Rt△GMN中，求出MN=

3

3

（

1

2

x-1），在Rt△BMN中，求出BM²=

1

3

x²-

16

3

x+

76

3

，最后根据S₁=π•BM²代入计算即可．②当0＜x≤2时，S₂=π（

1

3

x²-

16

3

x+

76

3

），最后根据S=S₁+S₂=

7

12

π（x-

32

7

）²+

113

7

π即可得出S的最小值．

解答：解：（1）过点C作CE⊥AB于E，

在Rt△BCE中，
∵∠B=60°，BC=4，
∴CE=BC•sin∠B=4×

3

2

=2

3

，
∴AD=CE=2

3

．

（2）存在．若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，
则△PCB必有一个角是直角．
①当∠PCB=90°时，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8，
∴AP=AB-PB=2．
又由（1）知AD=2

3

，在Rt△ADP中，tan∠DPA=

AD

AP

=

2 3

2

=

3

，
∴∠DPA=60°，
∴∠DPA=∠CPB，
∴△ADP∽△CPB，
∴存在△ADP与△CPB相似，此时x=2．
②∵当∠CPB=90°时，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4，
∴PB=2，PC=2

3

，
∴AP=8．
则

AD

PC

≠

AP

PB

且

AD

PB

≠

AP

PC

，此时△PCB与△ADP不相似．

（3）如图，因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD，则S₁=π•（

PD

2

）²=π•

12+x2

4

，
①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；
作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM．则BM为△PCB外接圆的半径．

在Rt△GBH中，BH=

1

2

BC=2，∠MGB=30°，
∴BG=4，
∵BN=

1

2

PB=

1

2

（10-x）=5-

1

2

x，
∴GN=BG-BN=

1

2

x-1．
在Rt△GMN中，∴MN=GN•tan∠MGN=

3

3

（

1

2

x-1）．
在Rt△BMN中，BM²=MN²+BN²=

1

3

x²-

16

3

x+

76

3

，
∴S₂=π•BM²=π（

1

3

x²-

16

3

x+

76

3

）．
②∵当0＜x≤2时，S₂=π（

1

3

x²-

16

3

x+

76

3

）也成立，
∴S=S₁+S₂=π•

12+x2

4

+π（

1

3

x²-

16

3

x+

76

3

）=

7

12

π（x-

32

7

）²+

113

7

π．
∴当x=

32

7

时，S=S₁+S₂取得最小值

113

7

π．

点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意分类讨论．