Question

2．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AB=5，AD=8，CD=3，线段AD上有一动点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
（1）若AF=2，求DE的长；
（2）当△AEF与△CED相似时，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）作BH⊥AE于H，如图，易得BH=CD=3，在Rt△ABH中利用勾股定理计算出AH=4，再证明Rt△AFE∽Rt△AHB，则利用相似比可计算出AE=$\frac{5}{2}$，然后利用DE=AD-AE进行计算即可；
（2）分类讨论：当△AEF∽△CED时，由于△AEF∽△ABH，则△CED∽△ABH，然后利用相似比可计算出DE；当△AEF∽△ECD时，由于△AEF∽△ABH，则△ECD∽△ABH，然后利用相似比可计算出DE．

解答 解：（1）作BH⊥AE于H，如图，
∵∠ADC=90°，
∴四边形BHDC为矩形，
∴BH=CD=3，
在Rt△ABH中，∵AB=5，BH=3，
∴AH=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵∠FAE=∠HAB，
∴Rt△AFE∽Rt△AHB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AF}{AH}$，即$\frac{AE}{5}$=$\frac{2}{4}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$，
∴DE=AD-AE=8-$\frac{5}{2}$=$\frac{11}{2}$；
（2）当△AEF∽△CED时，
∵△AEF∽△ABH，
∴△CED∽△ABH，
∴$\frac{DE}{BH}$=$\frac{CD}{AH}$，即$\frac{DE}{3}$=$\frac{3}{4}$，
∴DE=$\frac{9}{4}$；
当△AEF∽△ECD时，
∵△AEF∽△ABH，
∴△ECD∽△ABH，
∴$\frac{DE}{AH}$=$\frac{CD}{BH}$，即$\frac{DE}{4}$=$\frac{3}{3}$，
∴DE=4，
综上所述，DE的长为4或$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时，注意对应角相等．也考查了直角梯形．