Question

如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边作等边△ABE，等边△ACD，BD与CE相交于点O，连接AO，求证：AO平分∠DOE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：过A作AM⊥CE，AN⊥BD，垂足为M，N，先证得△BAD≌△CAE，全等三角形对应边上的高相等证得AM=AN  然后根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证得AO平分∠DOE．

解答：证明：过A作AM⊥CE，AN⊥BD，垂足为M，N
∵△ABE和△ACD是等边三角形
∴AD=AC，AE=AB，∠BAE=∠CAD=60°
又：∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠BAC+∠BAE
∴∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AD=AC，AE=AB，∠BAD=∠CAE
∴△BAD≌△CAE （SAS）
∴AM=AN  （全等三角形对应边上的高相等）
∴AO平分∠DOE （角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．