Question

4．如图，一次函数y=kx+3分别与x，y轴交于点N，M，与反比例函数y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象交于点A，若AM：MN=2：3，则k=$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 过点A作AB⊥x轴于点B，通过AB∥MO找出△NMO∽△NAB，根据相似三角形的性质找出$\frac{MO}{AB}=\frac{NO}{NB}=\frac{NM}{NA}$，再根据AM：MN=2：3以及OM=3可求出AB的长度，由此即可得出点A的坐标，结合点A的坐标利用待定系数法即可求出k值．

解答 解：过点A作AB⊥x轴于点B，如图所示．

∵AB⊥x轴，MO⊥x轴，
∴AB∥MO，
∴△NMO∽△NAB，
∴$\frac{MO}{AB}=\frac{NO}{NB}=\frac{NM}{NA}$．
∵AM：MN=2：3，
MN：AN=3：（2+3）=3：5．
令一次函数y=kx+3中x=0，则y=3，
∴MO=3．
∵$\frac{MO}{AB}=\frac{NM}{NA}$=$\frac{3}{5}$，
∴AB=5，
令反比例函数y=$\frac{3}{x}$中y=5，则5=$\frac{3}{x}$，
解得：x=$\frac{3}{5}$．
∴点A的坐标为（$\frac{3}{5}$，5）．
将点A（$\frac{3}{5}$，5）代入一次函数y=kx+3中，
得：5=$\frac{3}{5}$k+3，解得：k=$\frac{10}{3}$．
故答案为：$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的判定及性质以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出点A的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，求出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．