Question

5．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC，DE垂直AC，垂足为E，∠ADB=2∠B=4∠C，AE=$\frac{3}{4}$，CD=$\frac{7}{2}$，则线段AB=$\frac{55}{26}$．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义得到∠1=∠2，由已知条件和外角的性质得到∠1=∠2=3∠C，∠B=2∠C，根据三角形的内角和列方程求得∠C=20°，∠1=60°，根据垂直的定义得到∠AED=∠DEC=90°，求出∠ADE=30°，解直角三角形得到DE=$\sqrt{3}$AE=$\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$，CE=$\sqrt{C{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{13}{4}$，在AC上截取AF=AB，连接DF，推出△AFD≌△ABD，于是得到∠AFD=∠B=40°，证得∠3=∠C，根据等腰三角形的性质得到DF=CF，设EF=x，则DF=CF=$\frac{13}{4}$-x，由勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵∠ADB=2∠B=4∠C，∠ADB=∠1+∠C，
∴∠1=∠2=3∠C，∠B=2∠C，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴6∠C+2∠C+∠C=180°，
∴∠C=20°，∠1=60°，
∵DE垂直AC，
∴∠AED=∠DEC=90°，
∴∠ADE=30°，
∴DE=$\sqrt{3}$AE=$\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$，CE=$\sqrt{C{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{13}{4}$，
在AC上截取AF=AB，连接DF，
在△ABD与△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠1=∠2}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△ABD，
∴∠AFD=∠B=40°，
∵∠AFD=∠+∠3，
∴∠3=40°-20°=20°，
∴∠3=∠C，
∴DF=CF，设EF=x，则DF=CF=$\frac{13}{4}$-x，
∵DE²+EF²=DF²，
即（$\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$）²+x²=（$\frac{13}{4}$-x）²，
∴x=$\frac{71}{52}$，即EF=$\frac{71}{52}$，
∴AF=AE+EF=$\frac{3}{4}$+$\frac{71}{52}$=$\frac{55}{26}$，
∴AB=AF=$\frac{55}{26}$．
故答案为：$\frac{55}{26}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的内角和，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．