【题目】如图,在平面直角坐标系中,线段AB的端点坐标分别为A(0,6)、B(6,6).点Q在线段AB上,以Q为项点的抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点D,与x轴的一个交点为C.设点Q的横坐标为m,点C的横坐标为n(n>m).
(1)当m=0时,求n的值.
(2)求线段AD的长(用含m的式子表示);
(3)点P(2,0)在x轴上,设△BPD的面积为S,求S与m的关系式;
(4)当△DCQ是以QC为直角边的直角三角形时,直接写出m的值.
【答案】(1)n=3;(2)AD=;(3)S与m的关系式为;(4)当m=或时,△DCQ是以QC为直角边的直角三角形.
【解析】
(1)先求抛物线表达式,当y=0时,可求n的值;
(2)先求抛物线解析式,可求点D坐标,即可求AD的长;
(3)如图1,延长BP交y轴于点M,通过证明△MOP∽△MAB,可得,可得,OM=3,AM=9.分两种情况讨论,由面积关系可求解;
(4)分两种情况讨论,由相似三角形的性质可求解.
解:(1)当m=0时,点Q坐标为(0,6),
∴抛物线表达式为y=ax2+6.
根据题意可知,
∴抛物线表达式为.
当y=0时,,
解得x=±3.
由题意n>m,
∴n=3;
(2)∵点Q坐标为(m,6),
∴抛物线表达式为.
当x=0时,.
∴点D坐标为(0,),
∵点A坐标为(0,6),
∴AD=;
(3)如图1,延长BP交y轴于点M,
∵OP∥AB,
∴△MOP∽△MAB,
∴.
∴
∵AO=6,
∴OM=3,AM=9.
当AD<AM,即时,
S==.
当AD>AM,即时,
S==.
综上,S与m的关系式为
(4)如图2,过点Q作QH⊥OC,
∵点Q坐标为(m,6),
∴抛物线表达式为.
当x=0时,.
∴点D坐标为(0,).
∴OD=m2﹣6,
当y=0时,0=﹣(x﹣m)2+6,
∴x1=3+m,x2=﹣3+m,
∴点C(3+m,0)
∴OC=3+m,CH=3,
∵∠OCD=90°,
∴∠OCQ+∠OCD=90°,且∠OCQ+∠CQH=90°,
∴∠CQH=∠DCO,且∠QHC=∠COD=90°,
∴△CQH∽△DCO,
∴,
∴,
∴m1=﹣3(不合题意舍去),m2=,
如图3,过点Q作QH⊥OC,
同理可证△ADQ∽△HCQ,
∴
∴
∴m1=0(不合题意舍去),m2=,
综上所述:当m=或时,△DCQ是以QC为直角边的直角三角形.
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【题目】如图,已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.
(1)求线段BC的长;
(2)当0≤y≤3时,请直接写出x的范围;
(3)点P是抛物线上位于第一象限的一个动点,连接CP,当∠BCP=90o时,求点P的坐标.
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【题目】如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,E、F、G、H分别是边AB、BD、CD、AC的中点.若AD=10,BD=8,CD=6,则四边形EFGH的周长是( )
A.24B.20C.12D.10
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、C同时出发,运动的时间为ts,当点Q运动到点B时,两点停止运动.
(1)当点P在线段AC上运动时,P、C两点之间的距离 cm.(用含t的代数式表示)
(2)在运动的过程中,是否存在某一时刻,使得△PQC的面积是△ABC面积的.若存在,求t的值;若不存在,说明理由.
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【题目】在硬地上抛掷一枚图钉,通常会出现两种情况:
下面是小明和同学做“抛掷图钉实验”获得的数据:
抛掷次数n | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 |
针尖不着地的频数m | 63 | 120 | 186 | 252 | 310 | 360 | 434 | 488 | 549 | 610 |
针尖不着地的频率 | 0.63 | 0.60 | 0.63 | 0.60 | 0.62 | 0.61 |
(1)填写表中的空格;
(2)画出该实验中,抛掷图钉钉尖不着地频率的折线统计图;
(3)根据“抛掷图钉实验”的结果,估计“钉尖着地”的概率为 .
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【题目】某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系:当销售单价为22元时,销售量为36本;当销售单价为24元时,销售量为32本.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元?
(3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少?
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【题目】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面(保留作图痕迹);
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=24cm,水面最深地方的高度为8cm,求这个圆形截面的半径.
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【题目】已知,如图,二次函数()图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧),点,关于直线对称.
(1)坐标为 ;坐标为: ;坐标为 ;
(2)求二次函数解析式;
(3)在直线上是否存在一点,使得最大?若不存在,请说明理由:若存在,请求出此时的面积;
(4)过点作直线交直线于点,,分别为直线和直线上的两个动点,连接、、,求和的最小值.
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