Question

15．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F
（1）求证：CE=DF；
（2）若AB=10，CD=8，求BF-AE的值．

Answer 1

分析 （1）作OH⊥CD于H，根据垂径定理得CH=DH，由于BF⊥CD，则OH∥BF，根据平行线分线段成比例定理得HE=HF，则CH-EH=HD-HF，易得CE=DF．
（2）连接EO，并延长交BF于W，过O作OQ⊥MN于Q，求出OQ，根据平行线分线段成比例定理求出EQ=FQ，EO=OW，AE=BW，求出WF=2OQ=6，即可求出答案．

解答 （1）证明：作OH⊥CD于H，
则CH=DH，
∵BF⊥CD，
∴OH∥BF，
而OA=OB，
∴HE=HF，
∴CH-EH=HD-HF，
即CE=DF．
（2）解：连接OD，EO，并延长交BF于G，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥OH∥BF，
∵AO=OB，
∴EO=OG，EH=HF，
∵AE∥BF，
∴△AEO∽△BGO，
∴$\frac{AE}{BG}$=$\frac{OA}{OB}$，
∵AO=BO，
∴AE=BG，
∴BF-AE=BF-BG=FG，
∵OH⊥CD，OQ过O，
∴CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=4，
∵直径AB=10，
∴OD=5，
在Rt△DHO中，由勾股定理得：OH=3，
∵EH=HF，OH∥BF，
∴GF=2OH=6，
即BF-AE=6．

点评 本题考查了垂径定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，关键是求出OH的长和得出GF=2OH，BF-AE=GF．