Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0），C（0，-2）
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标；
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意得

b 2a =1 9a-3b+c=0 c=-2

，
解得

a= 2 3 b= 4 3 c=-2

，
∴此抛物线的解析式为y=

2

3

x²+

4

3

x-2．

（2）连接AC、BC．

因为BC的长度一定，
所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小．
B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P．
设直线AC的表达式为y=kx+b，
则

-3k+b=0 b=-2

，
解得

k=- 2 3 b=-2

，
∴此直线的表达式为y=-

2

3

x-2，
把x=-1代入得y=-

4

3

∴P点的坐标为（-1，-

4

3

）．

（3）S存在最大值，
理由：∵DE∥PC，即DE∥AC．
∴△OED∽△OAC．
∴

OD

OC

=

OE

OA

，即

2-m

2

=

OE

3

，
∴OE=3-

3

2

m，OA=3，AE=

3

2

m，
∴S=S_△OAC-S_△OED-S_△AEP-S_△PCD
=

1

2

×3×2-

1

2

×（3-

3

2

m）×（2-m）-

1

2

×

3

2

m×

4

3

-

1

2

×m×1
=-

3

4

m²+

3

2

m=-

3

4

（m-1）²+

3

4

∵-

3

4

＜0
∴当m=1时，S最大=

3

4

．