Question

【题目】已知∠MAN=30°，点B在射线AM上，且 AB=6，点C在射线AN上．

（1）若△ABC是直角三角形，求AC的长；

（2）若△ABC是等腰三角形，则满足条件的C点有 个；

（3）设BC=x，当△ABC唯一确定时， 直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）3；（2）x =3或x≥6

【解析】

（1）分∠ABC=90°和∠ACB=90°两种情形求解即可；

（2）当AB为底时，点C有1个，当AB为腰时，点C有两个，故可得解；；

（3）当BC≥3或BC=6时，△ABC唯一确定．

（1）当∠ABC=90°时，如图所示，

∵∠A=30°

∴BC=

∴设BC=x，则AC=2x

在Rt△ABC中，由勾股定理得

解得x=

∴AC=

当∠ACB=90°时，如图所示，

∵∠A=30°

∴BC=

∴AC=

（2）当AB为腰时，等腰三角形有两个，如图，

当AB为底时，等腰三角形有1个，如图

∴△ABC是等腰三角形，则满足条件的C点有3个

（3）根据三角形三边关系可知，△ABC唯一确定时，由（1）、（2）得，BC=3或BC≥6.

故x=3或x≥6.