Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，又已知位于轴右侧且垂直于轴的动直线，沿轴正方向从运动到（不含点和点），且分别交抛物线，线段以及轴于点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）连接，，当直线运动时，求使得和相似的点的坐标；

（3）作，垂足为，当直线运动时，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）.

【解析】

（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）只有当∠PEA=∠AOC时，PEA△∽AOC，可得：PE=4AE，设点P坐标（4k-2，k），即可求解；

（3）利用Rt△PFD∽Rt△BOC得：，再求出PD的最大值，即可求解．

（1）由已知，将代入，∴.

将点和代入，得，

解得.∴抛物线的表达式为.

（2）∵，，

∴，.

∵轴，

∴，

∵，

∴只有当时，，

此时，即，

∴.

设点的纵坐标为，则，，

∴，

∴点的坐标为，将代入，得

，

解得（舍去），.

当时，.

∴点的坐标为.

（3）在中，，

∵轴，

∴，

∴，

∴，

∴.

由，知，又，

∴，

又.

∴.

∴当最大时，最大.

由，可解得所在直线的表达式为.

设，则，

∴.

∴当时，有最大值4.

∴当时，.