Question

如图，∠BAC=∠ABC=45°，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．FE=1，BE=2．下列结论：①△CBE≌△ACD，②AD=6，③AF=BC，④BC=．其中正确的是（ ）

A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③

Answer 1

【答案】分析：由AAS可证明△CBE≌△ACD，从而可判定①正确；
先证明△DFA∽△EFB，得出AD=2DF，又由①知AD=CE，设DF=x，则2x=x+3，解方程即可判定②正确；
如果AF=BC成立，那么由BC=AC，则AF=AC成立，∠ACF=∠AFC成立，根据等角的余角相等，得∠BCE=∠DAF成立，而∠BCE=∠CAD，即需∠CAD=∠DAF，但是已知条件没有交代，从而可判定③错误；
在直角△ACD中，由CD=2，AD=6，根据勾股定理即可判定④正确．
解答：解：∵∠BAC=∠ABC=45°，
∴CB=AC，∠ACB=90°．
在△CBE与△ACD中，
，
∴△CBE≌△ACD，
故①正确；

∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，
∴BE∥AD，
∴△DFA∽△EFB，
∴DF：EF=AD：BE，
∵FE=1，BE=2，
∴DF：1=AD：2，
∴AD=2DF．
设DF=x，则AD=2x．
又由①知△CBE≌△ACD，
∴AD=CE，BE=CD=2，
∴2x=x+3，
∴x=3，
∴AD=2x=6，
故②正确；

假设AF=BC成立．
∵BC=AC，
∴AF=AC，
∴∠ACF=∠AFC，
∴∠BCE=∠DAF，
∵∠BCE=∠CAD，
∴∠CAD=∠DAF，
这与已知条件不符，
故③错误；

在直角△ACD中，∵∠ADC=90°，CD=2，AD=6，
∴AC==2，
故④正确．
故选C．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，综合性较强，难度中等．②中根据相似三角形的判定证明△DFA∽△EFB，并且根据其性质得出AD=2DF是解题的关键．