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    12．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D为AC中点，以点A为直角顶点作△DEF，使E点与A点重合，∠FED=90°，EF=BC，DF与AB交于点点G．
    （1）求AG：BG的值；
    （2）如图2，将△EFG沿射线AC方向向右平移至点E与点C重合时停止，设平移的距离为x，△ABC与△DEF重合部分的面积为y，请求出y与x的函数关系式；
    （3）如图3，当平移停止时，将△DEF绕点E顺时针旋转一周，在旋转过程中△ACF与△BCF能否全等？若能，请直接写出旋转的角度α；若不能，请说明理由．

    分析 （1）由FB∥ACD得到△FBG∽△DGA，得到比例式，再由AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$FB，即可；
    （2）分两种情况①当点D在线段AC上时，即0≤x≤1，根据△FHG∽△FED，得到的比例式求出HG，②当点D在AC延长线上时，即1≤x≤2，根据△FHG∽△FED，得到比例式求出HG，即可；
    （3）分两种情况计算，在旋转的过程中，要△ACF与△BCF全等，必有∠ACF=∠BCF，即CF是∠ACB的角平分线或角平分线的反向延长线，简单计算即可．

    解答 解：（1）如图1，

    连接FB，则FB∥AC
    ∴△FBG∽△DGA，
    ∵D为AC中点，
    ∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$FB，
    ∴$\frac{AG}{BG}=\frac{AD}{FB}$=$\frac{1}{2}$
    （2）①当点D在线段AC上时，即0≤x≤1，
    如图2，

    ∵平移的距离AE为x，∠A=45°
    ∴△AEJ为等腰直角三角形，
    ∴AE=EJ=x，则FJ=2-x，
    ∵△FHG∽△FED，
    ∴$\frac{HG}{ED}=\frac{FH}{FE}$，
    ∴$\frac{HG}{1}=\frac{2-x-HG}{2}$，
    ∴HG=$\frac{2-x}{3}$，
    ∴△FJG的面积为：$\frac{1}{2}$FJ×HG=$\frac{（2-x）^{2}}{6}$
    ∴y=1-$\frac{1}{2}$FJ×HG=-$\frac{1}{6}$x2+$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$，（0≤x≤1）
    ②当点D在AC延长线上时，即1≤x≤2，
    如图3，

    ∵△FHG∽△FED，
    ∴$\frac{HG}{ED}=\frac{FH}{FE}$，
    ∴$\frac{HG}{1}=\frac{2-x-HG}{2}$，
    ∴HG=$\frac{2-x}{3}$，
    ∴△FJG的面积为：$\frac{1}{2}$FJ×HG=$\frac{（2-x）^{2}}{6}$
    又∵CD=x-1，△CDI∽△EDF，
    ∴IC=2CD=2（x-1），
    ∴△CDI的面积为：$\frac{1}{2}$CD×CI=（x-1）2
    ∴y=1-$\frac{（2-x）^{2}}{6}$-（x-1）2=-$\frac{7}{6}$x2+$\frac{8}{3}$x-$\frac{2}{3}$  （1≤x≤2）
    （3）①如图1，

    ∵AC=BC=2，CF=CF，
    ∵要使△ACF与△BCF全等，
    ∴必有∠ACF=∠BCF，
    ∵∠ACB=90°，
    ∴∠BCF=∠ACF=$\frac{1}{2}$（360°-∠ACB）=$\frac{1}{2}$（360°-90°）=135°，
    ∴α=∠BCF=135°，
    ②如图2，

    ∵AC=BC=2，CF=CF，
    ∵要使△ACF与△BCF全等，
    ∴必有∠ACF=∠BCF，
    ∵∠ACB=90°，
    ∴∠BCF=∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
    ∴α=360°-∠BCF=360°-45°=315°，
    当旋转角α为135°或315°时，△ACF与△BCF全等．

    点评 此题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，解本题的关键是相似三角形的性质的运用，难点是（3）画出△ACF与△BCF全等的图形．

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