Question

我们知道在平面直角坐标系中，二次函数y=-（x-1）²+2的图象可以由二次函数y=-x²的图象先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到．由此我们是否可以联想其它类型的函数也可以进行类似的平移呢？小明和小华两位同学对于这个问题进行了如下思考：
（1）现把一次函数y=-x的图象向上平移1个单位后得到一个新的函数的图象的解析式为

y=-x+1

；若再向右平移3个单位后的图象的解析式为

y=-x+4

．
（2）如果把反比例函数y=

3

x

的图象向上平移2个单位得反比例函数

y=

3

x

+2

的图象，若再向右平移2个单位后可以得到反比例函数

y=

3

x-2

+2

的图象；
（3）函数y=

2x+1

x+1

的图象可以由函数y=-

1

x

图象如何平移得到的；
（4）已知反比例函数y=

3

x

的图象将此函数向右平移2个单位后，再进行上下平移，使新函数的图象与坐标轴的两个交点与原点构成一个等腰三角形，求新函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）直接根据函数图象平移的法则进行解答即可；
（2）直接根据函数图象平移的法则进行解答即可；
（3）先把函数y=

2x+1

x+1

化为y=-

1

x+1

+2的形式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可；
（4）设新函数的解析式为y=

3

x-2

+b，再由坐标轴上点的坐标特点得出函数图象与两坐标轴的交点，由等腰三角形的性质即可求出b的值．

解答：解：（1）由“上加下减”的原则可知，把一次函数y=-x的图象向上平移1个单位后得到一个新的函数的图象的解析式为y=-x+1；
由“左加右减”的原则可知，把一次函数y=-x+1的图象向右平移3个单位后的图象的解析式为y=-（x-3）+1，即y=-x+4．
故答案为：y=-x+1，y=-x+4；

（2）由“上加下减”的原则可知，把反比例函数y=

3

x

的图象向上平移2个单位后得到一个新的函数的图象的解析式为y=

3

x

+2；
由“左加右减”的原则可知，把一反比例函数y=

3

x

+2的图象向右平移2个单位后的图象的解析式为y=

3

x-2

+2．
故答案为：y=

3

x

+2，y=

3

x-2

+2；

（3）∵函数y=

2x+1

x+1

可化为y=-

1

x+1

+2的形式，
∴把函数y=-

1

x

先向左平移1个单位，再向上平移2个单位即可得到函数y=

2x+1

x+1

的图象；

（4）设新函数的解析式是y=

3

x-2

+b，
∵令x=0，则y=-

3

2

+b，令y=0，则x=

2b-3

b

，
∴函数图象与坐标轴的两交点为（0，-

3

2

+b）、（

2b-3

b

，0），
∵新函数的图象与坐标轴的两个交点与原点构成一个等腰三角形
∴-

3

2

+b=±

2b-3

b

，解得b=2，-2，

3

2

，
当b=

3

2

时函数图象与坐标轴的交点只有一个是原点，故舍去，
∴b的值为±2，
∴新函数的解析式为：y=

3

x-2

+2或y=

3

x-2

-2．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．