Question

在△ABC中，∠ACB=45°，点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
（1）如果AB=AC，如图（1），且点D在线段BC上运动，试判断线段CF与BD 之间的位置关系，并证明你的结论；
（2）如果AB≠AC，如图（2），且点D在线段BC上运动，（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，设BC=3，CD=x，求线段CP的长。（用含x的式子表示）

Answer 1

解：（1）CF与BD位置关系是垂直， 证明如下：如图（1） ∵AB=AC，∠ACB=45°， ∴∠ABC=45°， 由正方形ADEF得AD=AF，  ∵∠DAF=∠BAC=90°， ∴∠DAB=∠FAC， ∴△DAB≌△FAC， ∴∠ACF=∠ABD ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°， 即CF⊥BD；
（2）CF⊥BD，（1）中的结论成立， 理由：如图（2）， 过点A作AC⊥AC交BC于点G ∴AC=AG，仿（1）可证： △GAD≌△CAF， ∴∠ACF=∠AGD=45°， ∠BCF=∠ACB+∠ACF=90° 即CF⊥BO；
（3）过点A作AQ上BC交CB的延长线于点Q ①如图（3）点D在线段BC上运动时， ∵∠BCA=45°， 可求出AQ=CQ=4， ∴DQ =4-x， 易证△AQD∽△DCP， ∴ ∴  ②如图（4），点D在线段BC延长线上运动时， ∵∠BCA=45°， 可求出AQ=CQ=4， ∴DQ=4+x， 过A作AG⊥AC交CB延长线于点G， 则△AGD≌△ACF， ∴∠AGD=∠ACF， ∵∠AGD+∠ACG=90°， ∴∠ACF+∠ACG=90°， ∴CF⊥ BD， ∴△AQD∽△DCP，