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12.如图,四边形ABCD是长方形.

(1)P为长方形内一点(如图a),求证:PA2+PC2=PB2+PD2
(2)探索若点P在AD边上(如图b)时,结论是否仍然成立.若成立请证明,不成立请说明理由.
(3)探索若点P在长方形ABCD外(如图c)时,结论是否仍然成立.若成立请证明,不成立请说明理由.

分析 (1)过点P作AD的垂线,交AD于点E,交BC于点F,可证四边形ABFE和CDEF为矩形,则AE=BF,DE=CF,在△PAE,△PCF,△PBF,△PCF中,分别求PA2,PC2,PB2,PD2,再比较PA2+PC2与PB2+PD2即可;
(2)根据PB2-PA2=AB2=CD2=PC2-PD2,移项即可;
(3)画出图形,把问题转化到直角三角形中,由勾股定理分别求PA2,PC2,PB2,PD2

解答 (1)证明:过点P作AD的垂线,交AD于点E,交BC于点F,如图(a)所示:
则四边形ABFE和CDEF为矩形,
∴AE=BF,DE=CF,
由勾股定理得:
则AP2=AE2+PE2,PC2=PF2+CF2
BP2=BF2+PF2,PD2=DE2+PE2
∴PA2+PC2=AE2+PE2+PF2+CF2
PB2+PD2=BF2+PF2+DE2+PE2
∴PA2+PC2=PB2+PD2
(2)成立,理由如下:在Rt△ABP中,由勾股定理,得PB2-PA2=AB2
同理可得PC2-PD2=CD2
由矩形的性质可得AB=CD,
∴PB2-PA2=PC2-PD2
∴PA2+PC2=PB2+PD2
(2)成立
过点P作AD的垂线,交AD于点E,交BC于点F,
则四边形ABFE和CDEF为矩形,
∴AE=BF,DE=CF,
由勾股定理得:
则AP2=AE2+PE2,PC2=PF2+CF2
BP2=BF2+PF2,PD2=DE2+PE2
∴PA2+PC2=AE2+PE2+PF2+CF2
PB2+PD2=BF2+PF2+DE2+PE2
∴PA2+PC2=PB2+PD2
(3)成立.如图(c)所示,由勾股定理可证PA2+PC2=PB2+PD2

点评 本题是四边形综合题目,考查了勾股定理及矩形的性质.关键是作辅助线,构造直角三角形,利用勾股定理分别表示边长的平方.

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