Question

8．如图：△ABC中，∠C=45°，点D在AC上，且∠ADB=60°，AB为△BCD外接圆的切线．
（1）用尺规作出△BCD的外接圆（保留作图痕迹，可不写作法）；
（2）求∠A的度数；
（3）求$\frac{AD}{DC}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点即可画出图形．
（2）只要证明△BOD是等腰直角三角形即可推出∠ABD=∠DBO=45°，利用三角形内角和定理即可解决问题．
（3）过点B作BE⊥AC，垂足为点E，设DE=x，则BD=2x，BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，用x的代数式表示AD、DC即可解决问题．

解答 解：（1）作BC的垂直平分线MN，作BD的垂直平分线HF，MN与FH的交点为O，以点O为圆心OB为作⊙O即可．如图所示，
（2）连结OB、OD，
由切线性质，知∠ABO=90°．
∵∠ACB=45°，
∴∠BOD=90°，
（同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=45°，
由∠ABO=90°，得∠ABD=45°，
∴∠A=180°-∠ABD-∠ADB
=180°-45°-60°=75°；
（3）过点B作BE⊥AC，垂足为点E，
在Rt△BCE中，∵∠ACB=45°，
∴∠EBC=45°，∴BE=CE．
在Rt△BDE中，∵∠DBE=90°-∠EDB=30°，
∴BD=2DE，
设DE=x，则BD=2x，BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$x
DC=CE-DE=BE-DE=（$\sqrt{3}$-1）x．
AE=AD-DE=AD-x．
在△ABC和△ADB中，
∵∠ABD=∠ACB=45°，∠A为公共角，
∴△ABC∽△ADB，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$，
即AB²=AC•AD，即
AB²=（AD+DC）•AD
=AD²+AD•（$\sqrt{3}$-1）x　　①．
在Rt△ABE中，由勾股定理，
得AB²=AE²+BE²=（AD-x）²+（$\sqrt{3}$x）²　　②．
由①、②，得AD²+AD•（$\sqrt{3}$-1）x
=（AD-x）²+（$\sqrt{3}$x）²，
化简整理，解得AD=2（$\sqrt{3}$-1）x．
∴$\frac{AD}{DC}$=$\frac{2（\sqrt{3}-1）x}{（\sqrt{3}-1）x}$=2，
∴$\frac{AD}{DC}$=2．

点评 本题考查圆的综合题、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用参数，求出相应的线段，属于中考常考题型．