Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．

（1）求证：四边形ABFC是菱形；

（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）8π，8

【解析】

（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；

（2）设CD=x，连接BD．利用勾股定理构建方程即可解决问题；

（1）证明：∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∴AE⊥BC，

∵AB=AC，

∴BE=CE，

∵AE=EF，

∴四边形ABFC是平行四边形，

∵AC=AB，

∴四边形ABFC是菱形．

（2）设CD=x．连接BD．

∵AB是直径，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

∴AB2-AD2=CB2-CD2，

∴（7+x）2-72=42-x2，

解得x=1或-8（舍弃）

∴AC=8，BD==，

∴S菱形ABFC=AC×BD=8．

∴S半圆=π42=8π．