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(2011•徐汇区二模)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,D为OC的中点,直线AD交抛物线于点E(2,6),且△ABE与△ABC的面积之比为3:2.
(1)求直线AD和抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴与x轴相交于点F,点Q为直线AD上一点,且△ABQ与△ADF相似,直接写出点Q点的坐标.

【答案】分析:(1)先根据△ABE与△ABC的面积之比为3:2,E(2,6)可求出C、D两点的坐标,用待定系数法可求出直线AD的解析式,进而可求出A点坐标,再根据A、C、E三点的坐标即可求出抛物线的解析式;
(2)先根据△ABQ与△CED相似求出B、F两点的坐标,再根据△ABQ∽△AFD或△ABQ∽△ADF时三角形的对应边成比例即可求出AQ的长,从而求出Q点的坐标.
解答:解:(1)∵△ABE与△ABC的面积之比为3:2,E(2,6),
∴C(0,4),D(0,2),
设直线AD的解析式为y=kx+b,
由题意得,解得,直线AD的解析式为y=2x+2,
∴A(-1,0).
抛物线经过A、C、E三点,得解得
所求抛物线的解析式为:y=-x2+3x+4.

(2)当△ABQ与△CED相似时,
由(1)有B(4,0),F(,0)
①若△ABQ∽△AFD,=,即=,AQ=2,Q(1,4)或(-3,-4)
②若△ABQ∽△ADF,=,即=,AQ=,Q(,5)或(-,-5).
点评:本题考查的是用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式,相似三角形的判定与性质,在解答(2)时要注意分类讨论.
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