Question

【题目】对于平面直角坐标系中的图形M和点P（点P在M内部或M上），给出如下定义：

如果图形M上存在点Q，使得，那么称点P为图形M的和谐点．

已知点，，，．

（1）在点，，中，矩形的和谐点是_________________；

（2）如果直线上存在矩形的和谐点P，求出点P的横坐标t的取值范围；

（3）如果直线上存在矩形的和谐点E，F，使得线段上的所有点（含端点）都是矩形的和谐点，且，求出b的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)和；(2) 或；(3) 2≤b＜3或-3＜b≤-2.

【解析】

(1)如下图1中，根据点P为图形M的和谐点的定义，观察图形可知P1和P3是矩形ABCD的和谐点.

(2)如图2中，求出满足条件的P1、P2、P3、P4的坐标即可判断.

(3)当b=3时，图中线段EF上的点都是和谐点，且，当将直线往y轴负半轴平移时刚好经过点M，此时上的点都是和谐点，且，当再往下平移时，EF上有部分点不再是和谐点，由此求出b的范围为2≤b＜3；根据对称性，-3＜b≤-2也满足.

(1)如下图1中，根据点P为图形M的和谐点的定义，观察图形可知：

到矩形边AD和AB的最短距离为2，符合和谐点的定义；

到矩形四边的距离均大于2，不符合和谐点的定义；

是矩形边AD的距离为0，符合和谐点的定义；

故是和谐点的是点和.

故答案为：和.

(2)如图2中：

当直线上的点P到直线AB的距离为2时，可得和均满足和谐点的定义，此时均是和谐点，故此时的取值范围是：；

当直线上的点P到直线AD的距离为2时，可得和均满足和谐点的定义，此时均是和谐点，故此时的取值范围是：；

故满足条件的的取值范围是：或.

故答案为：或.

(3)如下图3所示：

当b=3时，图中线段EF上的点都是和谐点，且，

当将直线往y轴负半轴平移且刚好经过点M(-2,1)，

将点M(-2,1)代入解析式，

即：，解得：b=2，且此时

故此时b的范围为2≤b＜3，

同理，由对称性可知，当-3＜b≤-2也满足条件.

故b的取值范围为：2≤b＜3或-3＜b≤-2.