Question

15．如图1是一个用铁丝围成的篮框，我们来仿制一个类似的柱体形篮框．如图2，它是由一个半径为r、圆心角90°的扇形A₂OB₂，矩形A₂C₂EO、B₂D₂EO，及若干个缺一边的矩形状框A₁C₁D₁B₁、A₂C₂D₂B₂、…、A_nB_nC_nD_n，OEFG围成，其中A₁、G、B₁在$\widehat{{A}_{2}{B}_{2}}$上，A₂、A₃…、A_n与B₂、B₃、…B_n分别在半径OA₂和OB₂上，C₂、C₃、…、C_n和D₂、D₃…D_n分别在EC₂和ED₂上，EF⊥C₂D₂于H₂，C₁D₁⊥EF于H₁，FH₁=H₁H₂=d，C₁D₁、C₂D₂、C₃D₃、C_nD_n依次等距离平行排放（最后一个矩形状框的边C_nD_n与点E间的距离应不超过d），A₁C₁∥A₂C₂∥A₃C₃∥…∥A_nC_n
（1）求d的值；
（2）问：C_nD_n与点E间的距离能否等于d？如果能，求出这样的n的值，如果不能，那么它们之间的距离是多少？

Answer 1

分析 （1）根据d=$\frac{1}{2}$FH₂，求出EH₂即可解决问题．
（2）假设C_nD_n与点E间的距离能等于d，列出关于n的方程求解，发现n没有整数解，由$\frac{\sqrt{2}}{2}$r÷$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$r=2+2$\sqrt{2}$≈4.8，求出n即可解决问题．

解答 解：（1）在Rt△D₂EC₂中，∵∠D₂EC₂=90°，EC₂=ED₂=r，EF⊥C₂D₂，
∴EH₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，FH₂=r-$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
∴d=$\frac{1}{2}$（r-$\frac{\sqrt{2}}{2}$r）=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$r，
（2）假设C_nD_n与点E间的距离能等于d，由题意$\frac{1}{n-1}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$r=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$r，
这个方程n没有整数解，
所以假设不成立．
∵$\frac{\sqrt{2}}{2}$r÷$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$r=2+2$\sqrt{2}$≈4.8，
∴直角三角形△C₂ED₂最多分成5份，
∴n=6，此时C_nD_n与点E间的距离=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r-4×$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$r=$\frac{3\sqrt{2}-4}{2}$r．

点评 本题考查垂径定理、等腰直角三角形的性质，理解题意是解决问题的关键，学会利用方程去思考，发现n=6是解题的关键．