Question

18．已知双曲线y=$\frac{k}{x}$与抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c交于A（2，3）、B（m，2）、C（-3，n）三点．
（1）求双曲线与抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系中描出A、B、C三点，并求出△ABC的面积；
（3）在平面直角坐标系中作一条直线将△ABC的面积平分，求出你所作的解析式（只需一种情况即可）．

Answer 1

分析 （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值，从而得到反比例函数解析式，再把点B、C的坐标代入反比例函数解析式求出m、n的值，从而得到点B、C，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）直接利用△ABC所在梯形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（3）直接利用三角形中线的性质结合待定系数法求出函数解析式．

解答 解：（1）把点A的坐标代入反比例函数得，$\frac{k}{2}$=3，
解得：k=6，
所以，反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$；
把点B（m，2）、C（-3，n）坐标代入反比例函数解析式得，$\frac{6}{m}$=2，$\frac{6}{-3}$=n，
解得：m=3，n=-2，
所以，点B（3，2）、C（-3，-2），
把点A、B代入抛物线解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}×{2}^{2}+2b+c=3}\\{-\frac{1}{3}×{3}^{2}+3b+c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{2}{3}}\\{c=3}\end{array}\right.$．
所以，抛物线解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+3；

（2）如图所示：△ABC的面积为：$\frac{1}{2}$（1+5）×6-$\frac{1}{2}$×1×1-$\frac{1}{2}$×5×5=5；

（3）由B，C点坐标可得两点关于原点对称，
则O为BC的中点，故直线AO平分△ABC的面积，
设直线AO的解析式为：y=kx，
则2k=3，
解得：k=$\frac{3}{2}$，
故直线y=$\frac{3}{2}$x将△ABC的面积平分．

点评 本题考查了二次函数综合、待定系数法求抛物线解析式，反比例函数图象上点的特征以及三角形面积求法和三角形中线的性质等知识，求出点B、C的坐标是解题的关键．