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△ABC是一块等边三角形的废铁片,利用其剪裁一个正方形DEFG,使正方形的一条边DE落在BC上,顶点F、G分别落在AC、AB上.
Ⅰ、证明:△BDG≌△CEF;
Ⅱ、探究:怎样在铁片上准确地画出正方形.
小聪和小明各给出了一种想法,请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答.如果两题都解,只以Ⅱa的解答记分.
Ⅱa、小聪想:要画出正方形DEFG,只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长,从而确定D点和E点,再画正方形DEFG就容易了.
设△ABC的边长为2,请你帮小聪求出正方形的边长.(结果用含根号的式子表示,不要求分母有理化)
Ⅱb、小明想:不求正方形的边长也能画出正方形.具体作法是:
①在AB边上任取一点G′,如图作正方形G′D′E′F′;
②连接BF′并延长交AC于F;
③作FE∥F′E′交BC于E,FG∥F′G′交AB于G,GD∥G′D′交BC于D,则四精英家教网边形DEFG即为所求.
你认为小明的作法正确吗?说明理由.
分析:(1)根据正方形的性质可以得到GD=FE,∠GDB=∠FEC=90°,利用等边三角形得到∠B=∠C=60°,然后利用全等三角形的判定定理就可以证明了;
2a.设正方形的边长为x,作△ABC的高AH,可以求出AH的长,然后根据△AGF∽△ABC利用其对应边成比例
可以列出关于x的方程,然后求出x,也就求出了正方形的边长;
2b.首先作一个正方形,然后利用位似图形作图就可以得到正方形DEFG,利用作法中的平行线可以得到比例线段,再根据比例线段就可以证明所作的图形是正方形了.
解答:证明:Ⅰ.∵DEFG为正方形
∴GD=FE,∠GDB=∠FEC=90°(2分)
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=∠C=60°(3分),
在△BDG和△CEF中,
∠GDB=∠FEC
∠B=∠C
GD=EF

∴△BDG≌△CEF(AAS)(5分)

Ⅱ解法一:设正方形的边长为x,作△ABC的高AH,精英家教网
求得AH=
3
(7分)
由△AGF∽△ABC得:
x
2
=
3
-x
3
(9分)
解之得:x=
2
3
2+
3
(或x=4
3
-6
)(10分)
解法二:设正方形的边长为x,则BD=
2-x
2
(7分)
在Rt△BDG中,tan∠B=
GD
BD

x
2-x
2
=
3
(9分)
解之得:x=
2
3
2+
3
(或x=4
3
-6
)(10分)
解法三:设正方形的边长为x,则AG=GF=x,GB=2-AG=2-x,
BD=
2-x
2
,GB=2-x
(7分)
由勾股定理得:(2-x)2=x2+(
2-x
2
)2
(9分)
解之得:x=4
3
-6
(10分)
Ⅱb.解:正确(6分)精英家教网
由已知可知,四边形GDEF为矩形(7分)
∵FE∥F′E′,
∴△BE′F′∽△BEF,
FE
F′E′
=
FB
F′B

同理
FG
F′G′
=
FB
F′B

FE
F′E′
=
FG
F′G′

又∵F’E’=F’G’
∴FE=FG
∴矩形GDEF为正方形(10分)
点评:此题主要考查了全等三角形,相似三角形的判定及矩形及正方形的性质等知识点的综合运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读材料并解答问题:
我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一,古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用,古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理,在西方,勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”.
关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组,在《几何》课本中我们已经了解到,“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”,以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法:
方法1:若m为奇数(m≥3),则a=m,b=
1
2
(m2-1)和c=
1
2
(m2+1)是勾股数.
方法2:若任取两个正整数m和n(m>n),则a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2是勾股数.
(1)在以上两种方法中任选一种,证明以a,b,c为边长的△ABC是直角三角形;
(2)请根据方法1和方法2按规律填写下列表格:
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(3)某园林管理处要在一块绿地上植树,使之构成如下图所示的图案景观,该图案由四个全等的直角三角形组成,要求每个三角形顶点处都植一棵树,各边上相邻两棵树之间的距离均为1米,如果每个三角形最短边上都植6棵树,且每个三角形的各边长之比为5:12:13,那么这四个直角三角形的边长共需植树
 
棵.
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科目:初中数学 来源: 题型:

(1)已知:如图(1)AD是△ABC中BC边的中线,则S△ABD=S△ACD,依据是
等底同高
等底同高

(2)如图2梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD交于点O,请找出图中三对面积相等的三角形,
△ADC和△ADB;△ABC和△DBC;△AOB和△DOC
△ADC和△ADB;△ABC和△DBC;△AOB和△DOC

(3)李明家有一块四边形田地,如图3所示.AE是一条小路,它把田地分成了面积相等的两部分(小路宽忽略不计).在CD边上点F处有一口水井,为方便灌溉田地,李明打算过点F修一条笔直的水渠,且要求水渠也把整个田地分成面积相等的两部分(水渠宽忽略不计).请你帮李明设计出修水渠的方案,作图并写出设计方案.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一,古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用,古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理,在西方,勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”.
关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组,在《几何》课本中我们已经了解到,“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”,以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法:
方法1:若m为奇数(m≥3),则a=m,b=数学公式(m2-1)和c=数学公式(m2+1)是勾股数.
方法2:若任取两个正整数m和n(m>n),则a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2是勾股数.
(1)在以上两种方法中任选一种,证明以a,b,c为边长的△ABC是直角三角形;
(2)请根据方法1和方法2按规律填写下列表格:

(3)某园林管理处要在一块绿地上植树,使之构成如下图所示的图案景观,该图案由四个全等的直角三角形组成,要求每个三角形顶点处都植一棵树,各边上相邻两棵树之间的距离均为1米,如果每个三角形最短边上都植6棵树,且每个三角形的各边长之比为5:12:13,那么这四个直角三角形的边长共需植树______棵.

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