Question

14、（1）试求出奇数的四次方被16除所得的余数（最小非负剩余）；
（2）问：是否存在六个整数a、b、c、d、e、f，使得a⁴+b⁴+c⁴+d⁴+e⁴+f⁴=2007⁹？请说明理由（允许利用在（1）中所得到的结论）．

Answer 1

分析：（1）设a是奇数，则a=2n+1，可用2n+1表示出a⁴的值，再判断出n（n+1）为偶数，所以4n（n+1）是8的倍数，再把a⁴化为16的倍数的形式即可；
（2）先根据数的奇偶性判断出a⁴+b⁴+c⁴+d⁴+e⁴+f⁴被16除的余数，再根据2007被16除的余数为7，所以2007⁹被16除的余数就是7⁹被16除的余数，其余数为7，再由以上两种情况即可得出答案．

解答：解：（1）设a是奇数，则a=2n+1（n是整数），（1分）a⁴=（2n+1）⁴=（4n²+4n+1）²=[4n（n+1）+1]²（2分）
因为n（n+1）为偶数，所以4n（n+1）是8的倍数，（3分）
令4n（n+1）=8t（t是整数），则a⁴=（8t+1）²=64t²+16t+1=16•（4t²+t）+1，（4分）
即a⁴被16除所得的余数为1；（5分）
（2）不存在．理由如下：
显然，偶数的四次方被16除的余数为0，由（1）知：奇数的四次方被16除的余数为1，而整数可划分为奇数与偶数两大类，所以a⁴+b⁴+c⁴+d⁴+e⁴+f⁴被16除的余数只可能为0、1、2、3、4、5、6．（10分）
另一方面，2007被16除的余数为7，所以2007⁹被16除的余数就是7⁹被16除的余数，注意到7⁹=7×7⁸=7×49⁴=7×（16×3+1）⁴被16除的余数为7．（14分）
由以上两个方面知：a⁴+b⁴+c⁴+d⁴+e⁴+f⁴与2007⁹被16除的余数永远不可能相同，因此所述的a、b、c、d、e、f不存在．（15分）

点评：本题考查的是带余数的除法、数的奇偶性等知识，难度较大．