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已知:如图,等边三角形ABC的边长为6,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE=2.若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动,设点F运动的时间为t秒.当t>0时,直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G,GE的延长线与BC的延长线相交于点H,AB与GH相交于点O.
(1)设△EGA的面积为S,写出S与t的函数关系式;
(2)当t为何值时,AB⊥GH;
(3)请你证明△GFH的面积为定值;
(4)当t为何值时,点F和点C是线段BH的三等分点.

【答案】分析:(1)三角形EGA中,底边AG的长可通过相似三角形ADG和BDF求出,而AG边上的高可用AE•sin60°来表示,由此可得出S、t的函数关系式;
(2)当AB⊥GE时,连接DE,由已知推出三角形ADE是等边三角形,可得∠AEG=60°,即∠EG=30°,根据等角对等边可得出AG=AE=2,在(1)中已经求出了AG的表达式,根据得出的等量关系即可求出t的值;
(3)本题只需证FH是定值即可;
(4)本题要分两种情况:
①点F在C点左侧时,如果F、C是BH的三点分点,那么F必为BC的中点,因此BF=3,由此可求出t的值;
②当点F在C点右侧时,同①可知:BF=2BC=12,由此可求出t的值.
解答:解:(1)如图,
∵GA∥BC

又∵AB=6,AD=2
∴DB=4
∵BF=t
=
∴AG=t
过点E作EK⊥AG,垂足为K
∵∠BCA=60°
∴∠CAK=60°
∴∠AEK=30°
∵AE=2
∴AK=1
∴EK=
∴S=AG•EK=×=t;

(2)如图,连接DE,由AD=AE可知,△ADE为等边三角形.
∵AB⊥HG
∴AO=OD,∠AEO=∠DEO
∵GA∥DE
∴∠AGE=∠GED
∴AG=AE=2
t=2
∴t=4
即当t=4时,AB⊥HG;

(3)∵GA∥BC


∵DE∥BC

∴FH=BC
∵△ABC与△GFH的高相等
∴S△GFH=S△ABC=×6×3=9
∴不论t为何值,△GFH的面积均为9

(4)∵BC=FH
∴BF=CH
①当点F在线段BC上时,若点F和点C是线段BH的三等分点,则BF=FC=CH
∵BF=CH
∴BF=FC
∵BC=6
∴BF=FC=3
∴当t=3时,点F和点C是线段BH的三等分点;
②如右图,当点F在BC的延长线上时,若点F和点C是线段BH的三等分点,则BC=CF=FH
∵BC=FH
∴BC=CF
∵BC=6
∴CF=6
∴BF=12
∴当t=12时,点F和点C是线段BH的三等分点.
点评:主要考查了等边三角形的性质,平行线的性质等知识点的综合运用.
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学习《图形的相似》后,我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验,继续探索两个直角三角形相似的条件.
(1)“对与两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,两个直角三角形全等”.精英家教网类似地你可以得到:“满足
 
,或
 
,两个直角三角形相似”.
(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”,类似地你可以得到“满足
 
的两个直角三角形相似”.
请结合下列所给图形,写出已知,并完成说理过程.
已知:如图,
 

试说明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.

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学习《图形的相似》后,我们可以探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验,继续探索两个直角三角形相似的条件.

(1)“对于两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,两个直角三角形全等”,类似地,你可以得到“满足_____,或_____,两个直角三角形相似”;
(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”,类似地,你可以得到满足_____两个直角三角形相似”.请结合下列所给图形,写出已知,并完成说理过程.
已知:如图,_____.试说明Rt△ABC∽Rt△A/B/C/.

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已知:如图,在等边三角形ABC中,M、N分别是AB、AC的中点,D是MN上任意一点,CD、BD的延长线分别与AB、AC交于F、E,若 ,则等边三角

 

形ABC的边长为

 

A.         B.              C.               D.1

 

 

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已知:如图,在等边三角形ABC中,M、N分别是AB、AC的中点,D是MN上任意一点,CD、BD的延长线分别与AB、AC交于F、E,若 ,则等边三角

 

形ABC的边长为

 

A.         B.              C.              D.1

 

 

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