【题目】已知,点、,将线段绕着原点逆时针方向旋转角度到,连接,将绕着点顺时针方向旋转角度至,连接.
(1)当,时,求的长.
(2)当,时,求的长.
(3)已知,当时,改变的大小,求的最大值.
【答案】(1)10;(2);(3).
【解析】
(1)将AO绕点A顺时针方向旋转60°至AN,连接AN,DN.通过SAS证明△AOC≌△AND,再证明∠OND=90°后利用勾股定理即可求解;
(2)将AO绕点A顺时针方向旋转120°至AN,连接AN,DN.通过SAS证明△AOC≌△AND,再证明∠OND=90°后利用勾股定理即可求解;
(3)将AO绕点A顺时针方向旋转90°至AN,可得点N为(8,8),利用两点距离公式求出NE的长,然后根据D在线段NE上时,DE最小为;D在线段NE的延长线上时DE最大为,从而求出DE的最大值.
解:(1)如图1,将AO绕点A顺时针方向旋转60°至AN,连接AN,DN.
则△OAN是等边三角形.
∴ON=OA=AN=8.
∴∠OAN=∠ONA=∠CAD=60°.
∴∠OAN-∠NAC=∠CAD-∠NAC,即∠OAC=∠NAD.
在△AOC和△AND中
,
∴△AOC≌△AND(SAS)
∴OC=ND,∠AND=∠AOC=30°.
又∵OB=6,
∴OC=ND=6.
∴∠OND=∠ONA+∠AND=90°.
∴;
(2)如图2,将AO绕点A顺时针方向旋转120°至AN,连接AN,DN,
∴△OAN是等腰三角形,
∵∠OAN=120°,
∴,∠AON=∠ANO=30°.
∵∠OAN=∠CAD=120°.
∴∠OAN-∠NAC=∠CAD-∠NAC,即∠OAC=∠NAD.
在△AOC和△AND中
,
∴△AOC≌△AND(SAS),
∴OC=ND,∠AND=∠AOC=60°.
∴∠OND=∠AND+∠ANO=90°,
又∵OB=6,
∴OC=OB=ND=6.
∴;
(3)如图3,将AO绕O顺时针旋转90°到AN,连接AN、DN、EN.
则N为(8,8),
则.
则(1)可得:△AOC≌△AND.
∴ND=OC=OB=6.
当D在线段NE上时,DE最小为;
当D在线段NE的延长线上时,DE最大为.
即DE的最大值为.
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【题目】如图:点A、B、C、D为⊙O上的四等分点,动点P从圆心O出发,沿O﹣C﹣D﹣O的路线做匀速运动.设运动的时间为t秒,∠APB的度数为y.则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D、E分别是AB、AC边的中点.将△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°<α<180°),得到△AB′C′(如图②).
(1)探究DB′与EC′的数量关系,并给予证明;
(2)当DB′∥AE时,求此时旋转角α的度数;
(3)如图③,在旋转过程中,设AC′与DE所在直线交于点P,当△ADP成为等腰三角形时,求此时的旋转角α的度数.(直接写出结果)
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【题目】如图,在10×10的正方形网格中(每个小正方形的边长都为1个单位),△ABC的三个顶点都在格点上.建立如图所示的直角坐标系,
请在图中标出△ABC的外接圆的圆心P的位置,并填写: 圆心P的坐标:P( , )
(2)将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,画出图
形,并求△ABC扫过的图形的面积.
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【题目】如图,抛物线交x轴于A、B两点,直线y=kx+b经过点A,与这条抛物线的对称轴交于点M(1,2),且点M与抛物线的顶点N关于x轴对称.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设题中的抛物线与直线的另一交点为C,已知P(x,y)为线段AC上一点,过点P作PQ⊥x轴,交抛物线于点Q.求线段PQ的最大值及此时P坐标;
(3)在(2)的条件下,求△AQC面积的最大值.
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【题目】如图,在□ABCD中,AC与BD相交于点O,过点B作BE∥AC,联结OE交BC于点F,点F为BC的中点.
(1)求证:四边形AOEB是平行四边形;
(2)如果∠OBC=∠E,求证:BOOC=ABFC.
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【题目】如图,一段抛物线:y=-x(x-3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于两点O,A1;将C1绕A1旋转180°得到C2,交x轴于A2;将C2绕A2旋转180°得到C3,交x轴于A3,过抛物线C1,C3顶点的直线与C1、C2、C3围成的如图中的阴影部分,那么该面积为_____________
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A在第一象限,点C在第四象限,点B在x轴的正半轴上.∠OAB=90°且OA=AB,OB,OC的长分别是一元二次方程的两个根(OB>OC).
(1)求点A和点B的坐标.
(2)点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O,B重合),过点P的直线l与y轴平行,直线l交边OA或边AB于点Q,交边OC或边BC于点R.设点P的横坐标为t,线段QR的长度为m.已知t=4时,直线l恰好过点C.当0<t<3时,求m关于t的函数关系式.
(3)当m=3.5时,请直接写出点P的坐标.
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