Question

【题目】已知，点、，将线段绕着原点逆时针方向旋转角度到，连接，将绕着点顺时针方向旋转角度至，连接.

（1）当，时，求的长.

（2）当，时，求的长.

（3）已知，当时，改变的大小，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）10；（2）；（3）.

【解析】

（1）将AO绕点A顺时针方向旋转60°至AN，连接AN，DN.通过SAS证明△AOC≌△AND，再证明∠OND=90°后利用勾股定理即可求解；

（2）将AO绕点A顺时针方向旋转120°至AN，连接AN，DN.通过SAS证明△AOC≌△AND，再证明∠OND=90°后利用勾股定理即可求解；

（3）将AO绕点A顺时针方向旋转90°至AN，可得点N为（8，8），利用两点距离公式求出NE的长，然后根据D在线段NE上时，DE最小为；D在线段NE的延长线上时DE最大为，从而求出DE的最大值.

解：（1）如图1，将AO绕点A顺时针方向旋转60°至AN，连接AN，DN.

则△OAN是等边三角形.

∴ON=OA=AN=8.

∴∠OAN＝∠ONA=∠CAD=60°.

∴∠OAN-∠NAC＝∠CAD-∠NAC，即∠OAC＝∠NAD.

在△AOC和△AND中

，

∴△AOC≌△AND（SAS）

∴OC=ND，∠AND＝∠AOC=30°.

又∵OB=6，

∴OC=ND=6.

∴∠OND＝∠ONA+∠AND=90°.

∴；

（2）如图2，将AO绕点A顺时针方向旋转120°至AN，连接AN，DN，

∴△OAN是等腰三角形，

∵∠OAN=120°，

∴，∠AON＝∠ANO=30°.

∵∠OAN＝∠CAD=120°.

∴∠OAN-∠NAC＝∠CAD-∠NAC，即∠OAC＝∠NAD.

在△AOC和△AND中

，

∴△AOC≌△AND（SAS），

∴OC=ND，∠AND=∠AOC=60°.

∴∠OND=∠AND+∠ANO=90°，

又∵OB=6，

∴OC=OB=ND=6.

∴；

（3）如图3，将AO绕O顺时针旋转90°到AN，连接AN、DN、EN.

则N为（8，8），

则.

则（1）可得：△AOC≌△AND.

∴ND=OC=OB=6.

当D在线段NE上时，DE最小为；

当D在线段NE的延长线上时，DE最大为.

即DE的最大值为.