Question

2．如图，已知正方形ABCD中，AB=a，点E为AB的中点，点F在AD边上，且AF=$\frac{1}{4}$AD，试说明EF⊥CE．

Answer 1

分析 先求得AF、EB的长，然后依据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证明△AFE∽△BEC，由相似三角形的性质可得到∠AEF=∠BCE，然后证明∠AEF+∠BEC=90°，从而可求得∠FEC=90°．

解答 解：∵ABCD为正方形，
∴AB=BC=AD=a，∠A=∠B=90°．
∵AF=$\frac{1}{4}$AD，
∴AF=$\frac{1}{4}$a．
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a．
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{BE}{BC}$．
又∵∠A=∠B，
∴△AFE∽△BEC．
∴∠AEF=∠BCE．
∵∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠BEC+∠AEF=90°．
∴∠FEC=90°．
∴EF⊥EC．

点评 本题主要考查的是正方形的性质、相似三角形的性质和判定，证得△AFE∽△BEC是解题的关键．