Question

7．某数学兴趣小组想用一张边长为20cm的正方形纸片ABCD（如图），制作一个无盖长方体盒子，设剪去的小正方形的边长AE=xcm．
（1）若长方体的侧面积为128cm²，求x的值；
（2）若在O处有一圆点与纸片边界AB，AD的距离分别是4cm和6cm，要将这个圆点留在制作成的长方体盒子的底面上（含底面的边界，不考虑圆点的大小），求制作成的长方体盒子侧面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）先利用正方形纸片ABCD的边长为20cm以及剪去的小正方形的边长AE=xcm，得出无盖长方体盒子底面的边长，再根据长方体的侧面积为128cm²列出方程，解方程即可求出x的值；
（2）首先表示出长方体盒子侧面积S与x的函数解析式，求出x的取值范围，再根据二次函数的性质即可求解．

解答 解：（1）∵剪去的小正方形的边长AE=xcm，
∴无盖长方体盒子底面的边长为（20-2x）cm．
由题意得，4（20-2x）x=128，
解得x₁=2，x₂=8．
所以，长方体的侧面积为128cm²时，x的值为2或8；

（2）由题意得，S=4（20-2x）x（0＜x≤4），
整理得，S=-8x²+80x=-8（x-5）²+200，
∵a=-8＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=5，
∴当x＜5时，S的值随x的增大而增大，
∴当0＜x≤4时，S的最大值在x=4时取得，
∴S_最大值=-8（4-5）²+200=192．
故制作成的长方体盒子侧面积S的最大值是192cm²．

点评 本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用．求最值问题常利用函数的增减性来解答，注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=$-\frac{b}{2a}$时取得．