【题目】阅读下面的材料:
解方程x4–7x2+12=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:
设x2=y,则x4=y2.
∴原方程可化为y2–7y+12=0.
∴a=1,b=–7,c=12.
∴△=b2–4ac=(–7)2–4×1×12=1.
∴y═=–.
解得y1=3,y2=4.
当y=3时,x2=3,x=±.
当y=4时,x2=4,x=±2.
∴原方程有四个根是:x1=,x2=–,x3=2,x4=–2.
以上方法叫换元法,达到了降次的目的,体现了数学的转化思想,运用上述方法解答下列问题.
(1)解方程:(x2+x)2–5(x2+x)+4=0;
(2)已知实数a,b满足(a2+b2)2–3(a2+b2)–10=0,试求a2+b2的值.
【答案】(1)x1=,x2=,x3=,x4=;);(2)a2+b2=5.
【解析】
(1)设y=x2+x,则由已知方程得到:y2-5y+4=0,利用因式分解法求得该方程的解,然后解关于x的一元二次方程即可;
(2)设x=a2+b2,则由已知方程得到:x2-3x-10=0,利用因式分解法求得该方程的解,然后解关于x的一元二次方程即可.
(1)设y=x2+x,则y2–5y+4=0,
整理,得(y–1)(y–4)=0,解得y1=1,y2=4,
当x2+x=1即x2+x–1=0时,解得x=;
当x2+x=4即x2+x–4=0时,解得x=;
综上所述,原方程的解为:x1=,x2=,x3=,x4=;
(2)设x=a2+b2,则x2–3x–10=0,
整理,得(x–5)(x+2)=0,
解得x1=5,x2=–2(舍去),
故a2+b2=5.
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【题目】已知某商品的进价为每件40元.现在的售价是每件60元.每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价一元.每星期要少卖出10件;每降价一元,每星期可多卖出18件.如何定价才能使利润最大?
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【题目】问题:如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,试判断BE、EF、FD之间的数量关系.
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图(1)证明上述结论.
【类比引申】如图(2),四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足 关系时,仍有EF=BE+FD;请证明你的结论.
【探究应用】如图(3),在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分别有景点E、F,且AE⊥AD,DF=40(﹣1)米,现要在E、F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长.(结果取整数,参考数据: =1.41, =1.73)
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【题目】对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x<1时,它们对应的函数值互为相反数:当x≥1时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数,例如:一次函数y=x﹣4,它的相关函数为
(1)一次函数y=﹣x+5的相关函数为 .
(2)已知点A(b﹣1,4),点B坐标(b+3,4),函数y=3x﹣2的相关函数与线段AB有且只有一个交点,求b的取值范围;
(3)当b+1≤x≤b+2时,函数y=﹣3x+b2的相关函数的最小值为﹣3,求b的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线PA是一次函数的图象,直线PB是一次函数的图象,点P是两直线的交点,点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点.若四边形PQOB的面积是5.5,且,若存在一点D,使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标为________.
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【题目】已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是 ;
(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1,点C2的坐标是 ;
(3)△A2B2C2的面积是 平方单位.
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【题目】直线与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C,若抛物线与线段BC恰有一个公共点,则的取值范围是____.
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【题目】李明准备进行如下操作实验,把一根长40 cm的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,李明应该怎么剪这根铁丝?
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2,你认为他的说法正确吗?请说明理由.
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【题目】如图,△ABC各顶点坐标分别为A(4,4),B(﹣2,2),C(3,0),
①画出它的以原点O为对称中心的△A'B'C';
②在y轴上有一点P,使BP+C'P最小,求出P点坐标.
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