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【题目】在平面上,对于给定的线段AB和点C,若平面上的点P(可以与点C重合)满足,∠APB=∠ACB.则称点P为点C关于直线AB的联络点.

在平面直角坐标系xOy中,已知点A20),B02),C(﹣20).

1)在P122),P10),R1+1)三个点中,是点O关于线段AB的联络点的是   

2)若点P既是点O关于线段AB的联络点,同时又是点B关于线段OA的联络点,求点P的横坐标m的取值范围;

3)直线yx+bb0)与x轴,y轴分交于点MN,若在线段BC上存在点N关于线段OM的联络点,直接写出b的取值范围.

【答案】(1)P1R.(21m≤1+;(31≤b≤2

【解析】

1)根据点P为点C关于直线AB的联络点的定义一一判断即可.

2)如图2中,作△AOB的外接圆⊙E,过点Ex轴的平行线交⊙EGH.首先说明当点P在优弧上时,点P既是点O关于线段AB的联络点,同时又是点B关于线段OA的联络点,求出GH的坐标即可解决问题.

3)如图3中,作△MON的外接圆⊙E,作点E关于X轴的对称点E′,以E′为圆心,OE′为半径作⊙E′.观察图象可知满足条件的点P在两个圆的优弧OM上,当⊙EAB相切时,切点为H,求出点H的坐标即可判断.

解:(1)如图1中,

A20),B02),P122),P10),R1+1),

OAOBAP1BP1

四边形OAP1B是菱形,

∵∠AOB90°

四边形OAP1B是正方形,

∴∠AP1BAOB90°

P1是点O关于线段AB的联络点,

AB2,取AB的中点E11),

ERBEAE

∴∠ARB90°AOB

R是点O关于线段AB的联络点,

故答案为P1R

2)如图2中,作AOB的外接圆E,过点Ex轴的平行线交EGH

∵∠APBAOB90°APOABO45°

当点P在优弧上时,点P既是点O关于线段AB的联络点,同时又是点B关于线段OA的联络点,

AB2E11),G11),H1+1

P的横坐标m的取值范围1m≤1+

3)如图3中,作MON的外接圆E,作点E关于X轴的对称点E,以E为圆心,OE为半径作E

观察图象可知满足条件的点P在两个圆的优弧OM上,

EAB相切时,切点为H,由题意E的直径为

MN

OMONMON90°

ON1,此时直线MN的解析式为yx+1

观察图象可知:若在线段BC上存在点N关于线段OM的联络点,则b的取值范围为1≤b≤2.

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下面是小明的做法,请帮他补充完整(包括补全图形)

解:补全半圆O为完整的⊙O,连接AD,延长DE交⊙O于点H(补全图形)

D的中点,

.

DEABAB是⊙O的直径,

)(填推理依据)

∴∠ADF=FAD )(填推理依据)

AF=DF )(填推理依据)

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