【题目】在平面上,对于给定的线段AB和点C,若平面上的点P(可以与点C重合)满足,∠APB=∠ACB.则称点P为点C关于直线AB的联络点.
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,0),B(0,2),C(﹣2,0).
(1)在P1(2,2),P(1,0),R(1+,1)三个点中,是点O关于线段AB的联络点的是 .
(2)若点P既是点O关于线段AB的联络点,同时又是点B关于线段OA的联络点,求点P的横坐标m的取值范围;
(3)直线y=x+b(b>0)与x轴,y轴分交于点M,N,若在线段BC上存在点N关于线段OM的联络点,直接写出b的取值范围.
【答案】(1)P1,R.(2)1﹣≤m≤1+;(3)1≤b≤2.
【解析】
(1)根据点P为点C关于直线AB的联络点的定义一一判断即可.
(2)如图2中,作△AOB的外接圆⊙E,过点E作x轴的平行线交⊙E于G,H.首先说明当点P在优弧上时,点P既是点O关于线段AB的联络点,同时又是点B关于线段OA的联络点,求出G,H的坐标即可解决问题.
(3)如图3中,作△MON的外接圆⊙E,作点E关于X轴的对称点E′,以E′为圆心,OE′为半径作⊙E′.观察图象可知满足条件的点P在两个圆的优弧OM上,当⊙E与AB相切时,切点为H,求出点H的坐标即可判断.
解:(1)如图1中,
∵A(2,0),B(0,2),P1(2,2),P(1,0),R(1+,1),
∴OA=OB=AP1=BP1,
∴四边形OAP1B是菱形,
∵∠AOB=90°,
∴四边形OAP1B是正方形,
∴∠AP1B=∠AOB=90°,
∴P1是点O关于线段AB的联络点,
∵AB=2,取AB的中点E(1,1),
∵ER==BE=AE,
∴∠ARB=90°=∠AOB,
∴点R是点O关于线段AB的联络点,
故答案为P1,R.
(2)如图2中,作△AOB的外接圆⊙E,过点E作x轴的平行线交⊙E于G,H.
∵∠APB=∠AOB=90°,∠APO=∠ABO=45°,
∴当点P在优弧上时,点P既是点O关于线段AB的联络点,同时又是点B关于线段OA的联络点,
∵AB=2,E(1,1),G(1﹣,1),H(1+,1)
∴点P的横坐标m的取值范围1﹣≤m≤1+.
(3)如图3中,作△MON的外接圆⊙E,作点E关于X轴的对称点E′,以E′为圆心,OE′为半径作⊙E′.
观察图象可知满足条件的点P在两个圆的优弧OM上,
当⊙E与AB相切时,切点为H,由题意⊙E的直径为,
∴MN=,
∵OM=ON,∠MON=90°,
∴ON=1,此时直线MN的解析式为y=x+1,
观察图象可知:若在线段BC上存在点N关于线段OM的联络点,则b的取值范围为1≤b≤2.
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【题目】如图,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连接AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D,连接AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.
(1)求证:∠BAP=∠CAP;
(2)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)若AB=5,BC=10,求PC的长.
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【题目】为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召,某校开展了志愿者服务活动,活动项目有“戒毒宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”等五项,活动期间,随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查,结果发现,被调查的每名学生都参与了活动,最少的参与了1项,最多的参与了5项,根据调查结果绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图.
(1)被随机抽取的学生共有多少名?
(2)在扇形统计图中,求活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数,并补全折线统计图;
(3)该校共有学生2000人,估计其中参与了4项或5项活动的学生共有多少人?
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【题目】2019年度双十一在九龙坡区杨家坪的各大知名商场举行“国产家用电器惠民抢购日”优惠促销大行动,许多家用电器经销商都利用这个契机进行打折促销活动.商社电器某国产品牌经销商的某款超高清大屏幕液晶电视机每套成本为4000元,在标价6000元的基础上打9折销售.
(1)现在该经销商欲继续降价吸引买主,问最多降价多少元,才能使利润率不低于?
(2)据媒体爆料,有一些经销商先提高商品价格后再降价促销,存在欺诈行为.重百电器另一个该品牌的经销商也销售相同的超高清大屏幕液晶电视机,其成本、标价与商社电器的经销商一致,以前每周可售出20台,现重百的经销商先将标价提高,再大幅降价元,使得这款电视机在2019年11月11日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了,这样一天的利润达到22400元,求的值.(利润=售价-成本)
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【题目】如图,点C是半圆O上的一点,AB是⊙O的直径,D是的中点,作DE⊥AB于点E,连接AC交DE于点F,求证:AF=DF.
下面是小明的做法,请帮他补充完整(包括补全图形)
解:补全半圆O为完整的⊙O,连接AD,延长DE交⊙O于点H(补全图形)
∵D是的中点,
∴.
∵DE⊥AB,AB是⊙O的直径,
∴( )(填推理依据)
∴
∴∠ADF=∠FAD( )(填推理依据)
∴AF=DF( )(填推理依据)
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【题目】如图,在等边△BCD中,DF⊥BC于点F,点A为直线DF上一动点,以B为旋转中心,把BA顺时针方向旋转60°至BE,连接EC.
(1)当点A在线段DF的延长线上时,
①求证:DA=CE;
②判断∠DEC和∠EDC的数量关系,并说明理由;
(2)当∠DEC=45°时,连接AC,求∠BAC的度数.
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【题目】在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC的顶点A在轴的正半轴上,OA=4,OC=2,点P,点Q分别是边BC,边AB上的点,连结AC,PQ,点B1是点B关于PQ的对称点.
(1)若四边形OABC为矩形,如图1,
①求点B的坐标;
②若BQ:BP=1:2,且点B1落在OA上,求点B1的坐标;
(2)若四边形OABC为平行四边形,如图2,且OC⊥AC,过点B1作B1F∥轴,与对角线AC、边OC分别交于点E、点F.若B1E: B1F=1:3,点B1的横坐标为,求点B1的纵坐标,并直接写出的取值范围.
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【题目】如图,△ABC为等边三角形,O为BC的中点,作⊙O与AC相切于点D.
(1)求证:AB与⊙O相切;
(2)延长AC到E,使得CE=AC,连接BE交⊙O与点F、M,若AB=4,求FM的长.
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