Question

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y₁=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$（m≠0，x＞0）的图象交于第一象限内的A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC=3，点B的坐标为（2，6）
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象，请直接写出y₁＜y₂时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出点A的坐标，利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）作BE⊥OC于E，根据△AOB的面积=四边形BDOE的面积+梯形ABEC的面积-△ODB的面积-△AOC的面积计算；
（3）结合图象解答．

解答 解：（1）∵点B的坐标为（2，6），
∴m=2×6=12，
∵AC=3，
∴点A的纵坐标为3，
则点A的横坐标为$\frac{12}{3}$=4，
则点A的坐标为：（4，3），
由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=6}\\{4k+b=3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=9}\end{array}\right.$，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{12}{x}$，一次函数的解析式为：y=-$\frac{3}{2}$x+9；
（2）作BE⊥OC于E，
△AOB的面积=四边形BDOE的面积+梯形ABEC的面积-△ODB的面积-△AOC的面积
=2×6+$\frac{1}{2}$×（3+6）×2-$\frac{1}{2}$×2×6-$\frac{1}{2}$×4×3
=9；
（3）由图象可知，当0＜x＜2或x＞4时，y₁＜y₂．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式、反比例函数与一次函数的交点的求法是解题的关键．