Question

11．（1）已知x=$\sqrt{3}$+1，y=$\sqrt{3}$-1，求下列各式的值．
①x²+2xy+y²                   
②x²-y²
（2）先化简，再求值：$\frac{2a}{{a}^{2}-4}$÷（$\frac{{a}^{2}}{a-2}$-a），其中a=$\sqrt{3}$-2．

Answer 1

分析 （1）①根据题目中x、y的值可以求得x+y的值，从而可以解答本题；
②根据题目中x、y的值可以求得x+y和x-y的值，从而可以解答本题；
（2）先化简题目中的式子，再把a的值代入化简后的式子即可解答本题．

解答 解：（1）①∵x=$\sqrt{3}$+1，y=$\sqrt{3}$-1，
∴x+y=$\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1=2\sqrt{3}$，x-y=$\sqrt{3}+1-（\sqrt{3}-1）=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1=2$，
∴${x}^{2}+2xy+{y}^{2}=（x+y）^{2}=（2\sqrt{3}）^{2}$=12；
②∵x=$\sqrt{3}$+1，y=$\sqrt{3}$-1，
∴x+y=$\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1=2\sqrt{3}$，x-y=$\sqrt{3}+1-（\sqrt{3}-1）=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1=2$，
∴x²-y²=（x+y）（x-y）=$2\sqrt{3}×2=4\sqrt{3}$；

（2）$\frac{2a}{{a}^{2}-4}$÷（$\frac{{a}^{2}}{a-2}$-a）
=$\frac{2a}{（a+2）（a-2）}÷\frac{{a}^{2}-a（a-2）}{a-2}$
=$\frac{2a}{（a+2）（a-2）}×\frac{a-2}{2a}$
=$\frac{1}{a+2}$，
当a=$\sqrt{3}-2$时，原式=$\frac{1}{\sqrt{3}-2+2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查二次根式的化简求值、分式的化简求值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．