Question

6．在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于E，延长EG交CD于F．
（1）如图①，当点H与点C重合时，可得FG=FD．（大小关系）
（2）如图②，当点H为边CD上任意一点时，猜想FG与FD的数量关系，并说明理由．
（3）在图②中，当AB=8，BE=3时，利用探究的结论，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）连接AF，根据图形猜想FD=FG，由折叠的性质可得AB=AG=AD，再结合AF为△AGF和△ADF的公共边，从而证明△AGF≌△ADF，从而得出结论．
（2）连接AF，根据图形猜想FD=FG，由折叠的性质可得AB=AG=AD，再结合AF为△AGF和△ADF的公共边，从而证明△AGF≌△ADF，从而得出结论．
（3）设FG=x，则FC=8-x，FE=3+x，在Rt△ECF中利用勾股定理可求出x的值，进而可得出答案．

解答 解：（1）连接AF，
由折叠的性质可得AB=AG=AD，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AD}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△ADF．
∴FG=FD．
故答案为：=；
（2）猜想FD=FG．
证明：连接AF，
由折叠的性质可得AB=AG=AD，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AD}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△ADF．
∴FG=FD．

（3）设FG=x，
∵AB=8，BE=3，
∴BC=CD=8，
∴FC=8-x，FE=3+x，EC=8-3=5，
在Rt△ECF中，EF²=FC²+EC²，即（3+x）²=（8-x）²+5²，
解得x=$\frac{40}{11}$． 
∴CF=8-$\frac{40}{11}$=$\frac{48}{11}$，
即FG的长为$\frac{48}{11}$．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了翻折变换、正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法，掌握方程思想的应用是解此题的关键．