Question

求360的所有正约数的倒数和．

Answer 1

分析：设正整数a的所有正约数之和为b，d₁、d₂、d₃、d₄…d_n为a的所有正约数从小到大的排列，再求出其倒数和的表达式，再把360化为2³×3²×5的形式，进而求出b的值即可得出答案．

解答：解：设正整数a的所有正约数之和为b，d₁、d₂、d₃、d₄…d_n为a的所有正约数从小到大的排列，于是d₁、=1，d₂、d₃、d₄…d_n为a的所有正约数从小到大的排列，于是d₁=1，d_n=a，
由于S=

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

中各分数分母的最小公倍数为d_n=a，
故S=

dn

dn

+

dn-1

dn

+

dn-2

dn

+…+

d1

dn

=

d1+d2+d3+…dn

dn

=

b

a

，
而a=360=2³×3²×5，
故b=（1+2+2²×2³）×（1+3+3²）×（1+5）=1170，
所以360的所有正约数的倒数和为：

1170

360

=3

1

4

．
故答案为：3

1

4

．

点评：本题考查的是整数问题的综合运用，能设出正整数a的所有正约数之和为b，求出其倒数和的表达式是解答此题的关键．