Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A（-2，0）、B（4，0）、C（0，2）．
（1）请用尺规作出△ABC的外接圆⊙P（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求出（1）中外接圆圆心P的坐标；
（3）⊙P上是否存在一点Q，使得△QBC与△AOC相似？如果存在，请直接写出点Q坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）作出AC与BC线段垂直平分线得出交点即为圆心，进而利用圆心到线段端点距离长为半径求出即可；
（2）过点P做PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，连接PC、PE，在Rt△BPD中，BP²=x²+3²，在Rt△CEP中，CP²=（x+2）²+1²，由BP=CP，求出x的值，即可得出P点坐标；
（3）利用相似三角形的判定得出△Q₁BC∽△ACO，进而结合圆周角定理得出Q点坐标．

解答：解：（1）如图1所示：

（2）如图2，过点P做PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，连接PC、PE．
∵PD⊥AB，∴AD=BD=3．
∵OB=4，∴OD=OB-BD=1．
∴PE=OD=1．
设DP=x，则OE=PD=x．
在Rt△BPD中，BP²=x²+3²．
在Rt△CEP中，CP²=（x+2）²+1²．
∵BP=CP，
∴x²+3²=（x+2）²+1²．
解得：x=1．
∴点P坐标为（1，-1）．  

（3）如图2，连接BP并延长到⊙P于一点Q₁，连接CQ₁，
则BQ₁是直径，
∴∠Q₁CB=90°，
又∵∠CAB=∠CQ₁B，
∴△Q₁BC∽△ACO，
此时连接AQ₁则∠Q₁AB=90°，
∴Q₁横坐标为：-2，
∵AB=6，BQ₁=2BP=2

10

，
∴AQ₁=2，
∴Q₁（-2，-2），
同理构造直角三角形CFQ₂，
可得出：CF=6，CQ₂=2

10

，
∴FQ₂=2，FO=4，
则Q₂（2，-4），
综上所述：⊙P上存在一点Q（-2，-2），（2，-4），使得△QBC与△AOC相似．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角形外接圆作法和勾股定理等知识，利用圆周角定理以及分类讨论得出Q点坐标是解题关键．