Question

（2010•同安区质检）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，DC∥AB，CD=

1

2

AB=a，AD=3，E为线段BC上的动点（不与点B、点C重合），EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，设EF=x，EG=y．
（1）求y关于x的函数关系式（系数可含a），并写出自变量x的取值范围；
（2）无论a为何正数，在点E运动的过程中，我们都可以看出y随着x的增大而减小．小明说此时四边形AFEG的周长w也是随着x的增大而减小．你认为他说的是否正确？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出反例．

Answer 1

分析：（1）过点C作CH⊥AB，交AB于点H，可得△BEF和△BCH相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到x、y的函数关系式，再根CH的长度确定x的取值范围；
（2）根据矩形的周长公式列式整理得到x、y的关系式，再根据x的系数利用一次函数的增减性举反例说明．

解答：解：（1）如图，过点C作CH⊥AB，交AB于点H，
∵EF⊥AB，
∴△BEF∽△BCH，
∴

EF

CH

=

BF

BH

，
∵EF⊥AB于F，EG⊥AD，
∴四边形AFEG是矩形，
∴AF=EG=y，
∵CD=

1

2

AB=a，AD=3，
∴BF=2a-y，BH=2a-a=a，
∴

x

3

=

2a-y

a

，
∴y关于x的函数关系式是y=-

a

3

x+2a，
自变量x的取值范围是0＜x＜3；

（2）不正确．
四边形AFEG的周长w=2（x+y）=2（x-

a

3

x+2a）=（2-

2

3

a）x+4a，
反例1：令a=3，则w=4a=12，
此时，无论x如何变化，四边形AFEG的周长w都不变，
所以，“四边形AFEG的周长w也是随着x的增大而减小”的说法是错误的；
反例2：令a=2，则w=（2-

2

3

a）x+4a=

2

3

x+8，
此时，四边形AFEG的周长w随着x的增大而增大，
所以，“四边形AFEG的周长w也是随着x的增大而减小”的说法是错误的．

点评：本题考查了相似形综合题，主要利用了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，一次函数的增减性，作辅助线，构造出矩形与相似三角形是解题的关键．