Question

如图：抛物线经过A(－3，0)、B(0，4)、C(4，0)三点．

(1)求抛物线的解析式．

(2)已知AD＝AB(D在线段AC上)，有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；

(3)在(2)的条件下，M为抛物线的对称轴上一动点，当MQ＋MC的值最小时，请求出点M的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：设抛物线的解析式为， 　　依题意得：c＝4且　解得 　　∴所求的抛物线的解析式为　　1分 　　(2)连接DQ，在Rt△AOB中， 　　 　　∴AD＝AB＝5， 　　AC＝AD＋CD＝3＋4＝7， 　　CD＝AC－AD＝7－5＝2　　2分 　　∵BD垂直平分PQ， 　　∴PD＝QD，PQ⊥BD， 　　∴∠PDB＝∠QDB 　　∵AD＝AB， 　　∴∠ABD＝∠ADB，∠ABD＝∠QDB， 　　∴DQ∥AB 　　∴∠CQD＝∠CBA．∠CDQ＝∠CAB， 　　∴△CDQ∽△CAB 　　∴　即　　3分 　　∴AP＝AD－DP＝AD－DQ＝5－＝　　4分 　　　　5 　　(3)∵抛物线的对称轴为 　　∴A(－3，0)，C(4，0)两点关于直线对称 　　连接AQ交直线于点M，则MQ＋MC的值最小 　　过点Q作QE⊥x轴于E， 　　∴∠QED＝∠BOA＝90° 　　∵DQ∥AB，∠BAO＝∠QDE， 　　∴△DQE∽△ABO 　　∴ 　　即 　　∴QE＝，DE＝， 　　∴OE＝OD＋DE＝2＋＝， 　　∴Q(，)　　6分 　　设直线AQ的解析式为 　　则　解得 　　∴直线AQ的解析式为　　7分 　　由此得 　　∴M　　8分 　　当点M时，MQ＋MC的值最小．