Question

（2009•南安市质检）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0）．
（1）直接写出AB的长；
（2）点P（x，0）为线段OB上一动点（点O、B除外），过点P作PQ∥OA交AB于点Q．
①若以线段PQ为直径的⊙M与y轴相切，求点P的坐标；
②把△BPQ沿直线PQ向左侧翻折叠到△CPQ，若△CPQ与梯形OPQA重叠部分的面积为s，求s关于x的函数关系式，并求当x为何值时，s的值最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）根据两点间的距离公式可以求得线段AB的长度；
（2）①由平行线分线段成比例知

PQ

OA

=

BP

PO

，即

PQ

6

=

8-x

8

；再由圆的切线的性质可以推知

1

2

PQ=OP，即

1

2

×（6-

3

4

x）=x，则以求x的值；
②分类讨论：如图2，当0＜x＜4时，△CPQ与梯形OPQA重叠的部分是梯形OPQD，根据梯形的面积公式来计算重叠部分的面积即可；
如图3，当4≤x＜8时，△CPQ与梯形OPQA重叠部分是△CPQ，根据三角形的面积公式计算重叠部分的面积即可．

解答：解：（1）∵A（0，6），B（8，0）．
∴AB=

62+82

=10；

（2）①如图1，由题意知，OP=x，则BP=8-x．
∵PQ∥OA，
∴

PQ

OA

=

BP

PO

，即

PQ

6

=

8-x

8

，
解得，PQ=6-

3

4

x．
当以线段PQ为直径的⊙M与y轴相切时，

1

2

PQ=OP，
∴

1

2

PQ=OP，即

1

2

×（6-

3

4

x）=x，
解得，x=

24

11

，
则点P的坐标是（

24

11

，0）；

②如图2，当0＜x＜4时，∵△CPQ与梯形OPQA重叠的部分是梯形OPQD，则BP=CP=8-x，
∴OC=CP-OP=8-2x．
∵OD∥PQ，
∴

OC

PC

=

OD

PQ

，即

8-2x

8-x

=

OD

6- 3 4 x

，
解得，OD=6-

3

2

x，
∴s=

1

2

×（OD+PQ）×OP
=

1

2

×（6-

3

2

x+6-

3

4

x）x
=-

9

8

x²+6x
=-

9

8

（x-

8

3

）²+8．
∵x=

8

3

满足题意，
∴当x=

8

3

时，s的值最大为8；
如图3，当4≤x＜8时，△CPQ与梯形OPQA重叠部分是△CPQ，则
PC=BP=8-x，
∴s=

1

2

PC•PQ=

1

2

（8-x）×（6-

3

4

x）=

3

8

（x-8）²．
∵该抛物线的开口方向向上，
∴当4≤x＜8时，y随x的增大而减小，
∴当x=4是，s的值最大，最大值为6．
综上所述，s关于x的函数关系式为：s=-

9

8

x²+6x（0＜x＜4）；
s=

3

8

（x-8）²（4≤x＜8）；
且当x=

8

3

时，s的最大值是8．

点评：本题综合考查了两点间的距离公式，一次函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例以及三角形、梯形面积的计算．解答（2）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，注意数形结合数学思想在解题过程中的运用．