Question

10．如图，已知△ABC中，AB=AC，AM=CN，探求：∠ABC与∠ANM满足∠B-∠ANM=30°时，$\frac{MN}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 过A 作AD∥MN交BC的延长线于D；过N作NF∥BA交AD于F，交BD于E；过AG⊥BD于G；连接FC．则四边形AMNF是平行四边形，于是得到AM=FN…①，AF=MN…②，由于FE∥AB，得到∠NEC=∠B，根据AB=AC，求得∠B=∠NCE，于是得到NE=NC…③，由①③④得NF=NE=NC，根据直角三角形的性质得到FC⊥BD，于是得到AG∥FC，推出AF：CG=FD：CD…⑤，由②⑤⑥⑦整理得$\frac{CD}{FD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出∠CFD=60°，根据AG∥FC，得到∠CFD=∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BAC+∠FAN，由于AD∥MN，得到∠FAN=∠ANM，于是得到∠CFD=∠FAG=∠BAC+∠ANM，由于∠BAC=180°-2∠B，即可得到结论．

解答 解：过A 作AD∥MN交BC的延长线于D；过N作NF∥BA交AD于F，交BD于E；过AG⊥BD于G；连接FC．
则四边形AMNF是平行四边形，
∴AM=FN…①，AF=MN…②，
∵FE∥AB，
∴∠NEC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠NCE，
∴NE=NC…③，
又∵AM=NC…④，
由①③④得NF=NE=NC，
∴∠FCE=90°，
即FC⊥BD，
又∵AG⊥BD，
∴AG∥FC，
∴AF：CG=FD：CD…⑤，
∵AB=AC，
∴GC=$\frac{1}{2}$BC…⑥，
又∵$\frac{MN}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由②⑤⑥⑦整理得$\frac{CD}{FD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠CFD=60°，
∵AG∥FC，
∴∠CFD=∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BAC+∠FAN，
∵AD∥MN，
∴∠FAN=∠ANM，
∴∠CFD=∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BAC+∠ANM，
∵∠BAC=180°-2∠B，
∴∠CFD=1/2（180°-2∠B）+∠ANM=60°，
∴∠B-∠ANM=30°，
∴∠B-∠ANM=30°时，$\frac{MN}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：∠B-∠ANM=30°．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．